新理論不僅能給出實(shí)驗(yàn)已經(jīng)確立的結(jié)果，還能預(yù)言新的結(jié)果，而這一結(jié)果在物理上之合理之巧妙，只能歸結(jié)于大自然的安排。

撰文?|?劉全慧（理論物理博士，湖南大學(xué)物理與微電子科學(xué)學(xué)院教授）

物理難題和數(shù)學(xué)難題有一個(gè)很大的不同，世紀(jì)“高齡”的數(shù)學(xué)難題屢見不鮮，例如，費(fèi)馬大定理從提出到證明相隔了358年；哥德巴赫猜想已經(jīng)280年。有趣的是，數(shù)學(xué)的難題，每解決一個(gè)就相當(dāng)于殺掉了下金蛋的鵝。物理學(xué)中也有百年難題，每解決一次就相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)了一只下金蛋的鵝。這些問題小到冰面為什么打滑，大到宇宙的結(jié)構(gòu)及其演化；復(fù)雜如氣候變遷，具體如飛鴿回巢，等等。本文的有限尺寸效應(yīng)難題，寫在物理教材里，歷史上不斷有研究論文發(fā)表，是一個(gè)介乎數(shù)學(xué)和物理之間的小難題。

一

有限尺寸效應(yīng)難題

在所有的統(tǒng)計(jì)分布中，求最概然的一個(gè)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)的入門知識(shí)。不過，統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)心大量的樣本。稀罕的事例，不在統(tǒng)計(jì)學(xué)的范疇內(nèi)。統(tǒng)計(jì)物理也求最概然分布，但是，一個(gè)系統(tǒng)常常會(huì)和熱庫(kù)、粒子庫(kù)接觸，系統(tǒng)中就可能只有一個(gè)粒子。換言之，在統(tǒng)計(jì)物理中，即使出現(xiàn)一個(gè)粒子，也會(huì)出現(xiàn)分布。單原子熱機(jī)是近些年的一個(gè)研究熱點(diǎn)，處理的就是只有一個(gè)粒子的統(tǒng)計(jì)分布。通常的熱力學(xué)處理的是大量粒子的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)上處理為無(wú)限多個(gè)粒子，同時(shí)系統(tǒng)體積也要取為無(wú)限大，而粒子數(shù)的密度不變，就是所謂的熱力學(xué)極限。在熱力學(xué)極限的另外一極，就是小系統(tǒng)，或者少粒子系統(tǒng)，或者有限尺寸系統(tǒng)。這里會(huì)出現(xiàn)的新效應(yīng)，可以稱之為有限尺寸效應(yīng)，或者少粒子效應(yīng)。

但是，超過一個(gè)半世紀(jì)的時(shí)間里，數(shù)以十萬(wàn)計(jì)的統(tǒng)計(jì)物理的學(xué)者們，求最概然分布，一直被如下問題所困擾：相關(guān)理論的適用性要求粒子數(shù)很大，只有滿足這一條件才能借助成熟的數(shù)學(xué)工具給出統(tǒng)計(jì)分布。當(dāng)然，當(dāng)粒子數(shù)很大的時(shí)候，這些結(jié)果也都是正確的，受到了實(shí)驗(yàn)的嚴(yán)格檢驗(yàn)。那么，當(dāng)粒子數(shù)很少的時(shí)候，有無(wú)分布? 分布的形式如何？數(shù)學(xué)上，這一問題歸結(jié)于如何處理一個(gè)變量x連乘積x!的對(duì)數(shù)lnx!及其微積分，其中變量x可以理解為粒子數(shù)，x=0,1,2,…。例如x在1和10之間，就是所謂的少粒子系統(tǒng)。

在統(tǒng)計(jì)物理中，常常使用lnx!的如下斯特林公式，lnx！≈xlnx-x。這一公式在x的取值非常大的時(shí)候，精度非常之高。但當(dāng)x較小的時(shí)候，例如x在1和10之間取值時(shí)，這個(gè)公式的精度非常差。但是，在物理上，只能這樣取，多一項(xiàng)少一項(xiàng)都不行！關(guān)鍵的原因在于，惟其如此，才能保證一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的熵的廣延性。如果利用更為精確的近似，必然破壞廣延性。換言之，精確的斯特林公式，給出的最后的結(jié)果如果是正確的，應(yīng)該是所謂的少粒子效應(yīng)或者有限尺寸效應(yīng)，不過大概率是錯(cuò)誤的。

當(dāng)x為粒子個(gè)數(shù)的時(shí)候，lnx!是天生的離散函數(shù)。使用近似公式lnx!≈xlnx-x的一個(gè)重要目的在于把lnx!變成連續(xù)函數(shù)進(jìn)行微積分運(yùn)算。但是，當(dāng)x較小的時(shí)候，把lnx!處理為連續(xù)函數(shù)的精度非常差，只能處理為離散函數(shù)，這個(gè)時(shí)候，lnx!的微分dlnx!應(yīng)該用差分Δlnx!來(lái)代替。可是差分Δlnx!的定義非常多，例如，前一步差分Δlnx!= ln(x+1)!- lnx!=ln(x+1), 后一步差分Δlnx!= ln(x)!- ln(x-1)!=ln(x)，前兩步差分，后兩步差分，…，中心差分，偏心差分，…等等。定義如此之多，給出的物理結(jié)果互不相同，選擇其中的任意一個(gè)相當(dāng)于引進(jìn)了新的假設(shè)，即使這樣，給出的結(jié)果大概率也是靠不住的。

因此，統(tǒng)計(jì)物理出現(xiàn)lnx!的時(shí)候，在兩個(gè)地方需要進(jìn)行嚴(yán)格的處理，一個(gè)是lnx!精確的表達(dá)式，第二是嚴(yán)格的離散微積分。

二

尋找最穩(wěn)定的解

尋求函數(shù)lnx!的斯特林公式精確表達(dá)，物理學(xué)家玩不過數(shù)學(xué)家。把數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的結(jié)果搬運(yùn)過來(lái)就是。所以，問題不在是否使用精確的斯特林公式。問題必然出現(xiàn)在函數(shù)差分上。經(jīng)過了很多次探索和失敗之后，我們終于發(fā)現(xiàn)有一條狹窄但是巧妙的解決這一問題的途徑[1]，而且根本不需要用到斯特林公式。

統(tǒng)計(jì)物理中求最概然分布，可以理解為一個(gè)求變分的過程，走在正確的道路上，一定會(huì)碰到一些 “妖魔鬼怪”。下面通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。

假如系統(tǒng)粒子總數(shù)為N，一系列的能級(jí)(ε1,?ε2,…εi, …)可以想象成為一串不同的盒子，在每一個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)量不受限制。分布{ni}={n1, n2,…ni, …}表示能級(jí)εi上有ni個(gè)粒子，(i=1, 2, 3,…?)。分布{ni}中包含分配粒子方式的總數(shù)是，

給定系統(tǒng)的總能量

，問哪一個(gè)分布{ni*}出現(xiàn)的概率最大？這個(gè)時(shí)候要利用到拉格朗日乘子法，引入兩個(gè)乘子?(α,?β)，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)

最概然分布使得函數(shù)f的一階變分為零δf{ni*}=0，二階變分小于零，δ2f{ni*}＜0。一階變分的時(shí)候，InΩ{ni}中會(huì)出現(xiàn) Inni!，而粒子數(shù)ni的變化范圍從1到N。為了簡(jiǎn)單起見，下面把最概然分布記號(hào){ni*}中的上標(biāo)星號(hào)去掉，需要的時(shí)候讀者自動(dòng)腦補(bǔ)一下。

粒子數(shù)變分意味著，做最小允許的變化。這個(gè)變化，不必是真實(shí)的，可以是設(shè)想出來(lái)的，但必須滿足約束。

函數(shù)的Inni!前一步差分是

，故前差一階變分為零得方程

函數(shù)的In?ni!后一步差分是

，故后差一階變分為零得方程

一階變分為零給出兩個(gè)解，分別稱為前差解和后差解

前差解? ???

后差解????

很多研究者應(yīng)該都走到了這一步。而且，這里出現(xiàn)了熟悉的結(jié)果，即后差解。如何把前差解去掉？少數(shù)研究者會(huì)試試二階變分。

下面求二階變分，δ2f{ni}，分別得

前差解二階變分???

后差解二階變分? ?

這兩個(gè)都是負(fù)數(shù)，因此兩個(gè)解都是極大值解。由于

因此，后差解更加穩(wěn)定。給一個(gè)合理的說(shuō)法，來(lái)自數(shù)學(xué)或者物理都行，只要能挑出后差解就行了。

極少數(shù)研究人員會(huì)走到這里，然后通過一個(gè)新的物理原則，把最穩(wěn)定的解作為真實(shí)的解，把不真實(shí)的解剔除。

可是，即使到了這里，還沒有從根本上解決物理問題。

三

一點(diǎn)數(shù)學(xué)新花樣：異步差分

微觀粒子不可分辨，我們必須處理玻色子的統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米子的統(tǒng)計(jì)。這個(gè)時(shí)候，包含分配粒子方式的總數(shù)的對(duì)數(shù)InΩ{ni}中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)類似于Inni!的函數(shù)，設(shè)為

。很快發(fā)現(xiàn)取f(ni)前一步差分或者后一步差分都不行！也就是

和

都不行，這里的上標(biāo)f和b分別表示前差分和后差分，我把這個(gè)同步走的差分稱之為同步差分。應(yīng)該有個(gè)別研究人員想到了異步差分，而我可能是迄今唯一寫下來(lái)異步差分的人，還起了一個(gè)洋文名稱?(asynchronous finite differences)?[1]。很明顯，兩個(gè)異步差分分別是

因此一階差分Δf(ni)有四種組合，其中兩種來(lái)自于異步差分，二階也是。正確的費(fèi)米分布和玻色分布，都來(lái)自異步差分。換言之，只有引入異步差分之后，才能得到合理的結(jié)果。

經(jīng)過一點(diǎn)運(yùn)算，新理論給出的結(jié)果分為三部分。第一部分，粒子數(shù)很大的時(shí)候，結(jié)果完全回復(fù)到傳統(tǒng)的結(jié)果。這部分結(jié)果經(jīng)受了實(shí)驗(yàn)的反復(fù)檢驗(yàn)，如果新理論不能給出相同的結(jié)果，理論肯定錯(cuò)了。第二部分，如果系統(tǒng)內(nèi)只有兩個(gè)粒子，例如玻色子或者費(fèi)米子，原來(lái)的分布繼續(xù)有效。這一點(diǎn)，似乎傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)物理中的巨正則分布提示過這個(gè)結(jié)果。但是，提示不等于確立。巨正則分布給出的結(jié)果，是否適合于只有一兩個(gè)粒子的系統(tǒng)，統(tǒng)計(jì)物理本身給不出判斷。第三部分，如果系統(tǒng)內(nèi)只有一個(gè)粒子，新理論認(rèn)為，粒子的量子性突然消失，所有的粒子都遵守同樣的統(tǒng)計(jì)，即玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。這一個(gè)結(jié)果，是理論首先給出了結(jié)果，后來(lái)才理解。關(guān)于這一點(diǎn)，不妨多說(shuō)幾句。

兩個(gè)粒子是費(fèi)米子或者玻色子，量子力學(xué)認(rèn)為是系統(tǒng)狀態(tài)滿足交換對(duì)稱性的一種后果；而量子場(chǎng)論認(rèn)為，自旋和統(tǒng)計(jì)之間有簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。根據(jù)新的理論，如果系統(tǒng)中原本有兩個(gè)玻色子，滿足玻色分布。突然取走其中的一個(gè)，問，剩下的一個(gè)還是玻色子嗎? 量子力學(xué)認(rèn)為，由于這個(gè)玻色子不能和其它粒子進(jìn)行交換，再說(shuō)這個(gè)粒子是玻色子或者不是，已經(jīng)失去意義。就在這里，新理論進(jìn)一步預(yù)言，這個(gè)粒子應(yīng)該滿足玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。這個(gè)結(jié)果一度使我非常焦慮，后來(lái)突然理解了，這才是大自然的巧妙且必然的安排。只有一個(gè)粒子的時(shí)候，整個(gè)系統(tǒng)可以作為定域區(qū)域，這個(gè)粒子就是定域粒子，當(dāng)然只能滿足玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。因此，新理論預(yù)言，隨著粒子從兩個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)，出現(xiàn)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)之間的躍變，這個(gè)時(shí)候一定會(huì)出現(xiàn)新的熱量交換。因此，文章[1]進(jìn)行了如下暢想：新理論能提供實(shí)驗(yàn)可以檢驗(yàn)的結(jié)果。

四

小 結(jié)

很明顯，這里涉及的有限尺寸效應(yīng)問題之所以困難，是因?yàn)闆]有恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具。我是被物理感覺所指引，覺得大概應(yīng)該有一個(gè)什么長(zhǎng)相的物理結(jié)果，然后倒逼數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)只有引入異步差分才能解決問題。也許，在數(shù)學(xué)上有人在其它領(lǐng)域提出過異步差分的思想，但是從來(lái)沒有引進(jìn)到物理學(xué)中來(lái)。

異步差分似乎突破了數(shù)學(xué)的陳規(guī)，卻依然在數(shù)學(xué)的框架內(nèi)。異步差分就在我們身邊，距離只有一層薄紙。新理論不僅能給出實(shí)驗(yàn)已經(jīng)確立的結(jié)果，還能預(yù)言新的結(jié)果，而這一結(jié)果在物理上之合理之巧妙，只能歸結(jié)于大自然的安排。

后? 記

一輩子寫文章，很多文章寫著寫著就忘記了。投稿之后，也不知道投到了哪個(gè)刊物。甚至有篇不錯(cuò)的文章，因?yàn)橐粚徱呀?jīng)通過但是沒有能及時(shí)回復(fù)而被退稿了。這篇文章[1]不同，是我二十余年講授“熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理”課程的之后給自己的一個(gè)交代，也是2020年6月份起，華盛頓大學(xué)錢纮教授召集國(guó)際納米熱力學(xué)研討會(huì)?(International Seminar Nanothermodynamica series)?以來(lái)，我下決心要交付的一篇作業(yè)。文章在“五·四”青年節(jié)正式刊行，正值納米熱力學(xué)研討會(huì)兩周年之際，祝愿研討會(huì)常研常青。物理學(xué)年刊?(Annals of Physics)?的編輯迫不及待發(fā)表這篇文章，也說(shuō)明這篇論文有所原創(chuàng)。但是，之前不斷的拒稿，弄得我有點(diǎn)氣急敗壞，不但把論文的第一句改寫成一句廣告：“本文旨在解決統(tǒng)計(jì)物理中一個(gè)歷史很長(zhǎng)的基礎(chǔ)性難題”，還迫不及待地到2020-2021年中國(guó)物理學(xué)秋季年會(huì)上做了一場(chǎng)報(bào)告進(jìn)行推廣。論文接收后，居然還有點(diǎn)不敢相信；校完樣，還特地買了一盆花來(lái)紀(jì)念下自己；文章發(fā)表了，還要寫這篇文章來(lái)吹噓一下。

學(xué)術(shù)乃天下公器，誠(chéng)摯期待各位專家、老師、朋友批評(píng)指正。

參考文獻(xiàn)

[1] Q. H. Liu，Asynchronous finite differences in most probable distribution with finite numbers of particles，Annals of Physics，Vol. 441, June 2022, 168884. https://doi.org/10.1016/j.aop.2022.168884