題一、
已知實(shí)數(shù)x,y滿足：x2?4xy?5y2=5，
求：S=x2+2y2最小值

分析題目
分析題目，已知的二元二次方程，所求為二元二次代數(shù)式的最小值，從已知條件分析，因?yàn)榇嬖诮徊骓?xiàng)X乘以Y，這個(gè)交叉項(xiàng)影響我們利用基本不等式放縮，據(jù)此我們需要引入雙參數(shù)換元，抵消掉交叉項(xiàng)，最簡(jiǎn)單的策略就是 將已知的因式分解為乘積形式，將兩個(gè)乘積參數(shù)化，轉(zhuǎn)換為，已知二元積，求二元平方何的最值，據(jù)此分析我們來解題，

首先，將已知條件等號(hào)左邊直接十字相乘法因式分解得到，
(x?5y)(x+y)=5，

此時(shí)我們引入?yún)?shù)P何Q，設(shè)定，
x?5y=p，x+y=q

則將X何Y都用P何Q表示出來，很容易得到
x=p+5q/6，y=q?p/6

最后代入到上述方程中得到，
pq=5，

接著我們來轉(zhuǎn)換所求的代數(shù)式S，將X和Y用P和Q的代數(shù)式替換，即得到，
S=(p+5q/6)2+2(q?p/6)2

通分整理后得到，
S=3p2+6pq+27q2/36

將P乘以Q用5代入，即得到，
S=p2+10+9q2/12

此時(shí)我們就得到了典型的二元積一定，求二元平方何的最小值，那我們考察一下基本不等式，基于完全平方式的非負(fù)性，即
(√a?√b)2≥0

展開后移項(xiàng)即得到，a+b≥2√ab，那我們就利用這個(gè)基本不等式來放縮這個(gè)平方和，即得到，S≥2√p2·9q2+10/12

代入P乘以Q的值5，最后算得
S≥10/3，

同時(shí)求得取等號(hào)條件，p=3q，即
x=4√15/9，y=?√15/9

參考答案