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【趣味物理題】兩塊板的熱傳導(dǎo)

2021-11-17 15:07 作者:AoiSTZ23  | 我要投稿

鄭濤(Tao Steven Zheng)著

【問題】

考慮兩個(gè)板(圖 1),各板的截面面積是 A。右邊的板寬度為 %20L_1,左邊的板寬度為 L_2,各自的熱導(dǎo)率常數(shù)(thermal conductivity constant)為 k_1k_2。


題一: 根據(jù)圖 1,如果左邊的溫度大于右邊的溫度(T_H%20%3E%20T_C),計(jì)算兩塊板之間的溫度 T_m

題二:如果 %20k_1%20%3D%20k_2%20%3D%20k%20L_1%20%3D%20L_2%20%3D%20L,計(jì)算出 T_m。

圖 1

【題解】

題一

熱量(heat)自然地從較高溫度流向較低溫度。根據(jù)圖 1,因?yàn)樽筮叺臏囟却笥谟疫叺臏囟龋?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=T_H%20%3E%20T_C" alt="T_H%20%3E%20T_C">),熱量從左邊到右邊的流動(dòng)。

%5Cfrac%7BdQ%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BA%20k_2%7D%7BL_2%7D(T_h%20-%20T_m)

%20%5Cfrac%7BdQ%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BA%20k_1%7D%7BL_1%7D(T_m%20-%20T_c)

所以,

%5Cfrac%7BA%20k_2%7D%7BL_2%7D(T_h%20-%20T_m)%20%3D%20%5Cfrac%7BA%20k_1%7D%7BL_1%7D(T_m%20-%20T_c)

%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7DT_h%20-%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7DT_m%20%3D%20%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7DT_m%20-%20%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7DT_c%20

%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7DT_m%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7DT_m%20%3D%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7DT_h%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7DT_c%20


%5Cleft(%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7D%5Cright)T_m%20%3D%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7DT_h%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7DT_c

因此,

%20T_m%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7DT_h%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7DT_c%7D%7B%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7D%7D%20

題二

如果 k_1%20%3D%20k_2%20%3D%20k%20L_1%20%3D%20L_2%20%3D%20L,

T_m%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7DT_h%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7DT_c%7D%7B%5Cfrac%7Bk_1%7D%7BL_1%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bk_2%7D%7BL_2%7D%7D%20

變成

T_m%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7BL%7DT_h%20%2B%20%5Cfrac%7Bk%7D%7BL%7DT_c%7D%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7BL%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bk%7D%7BL%7D%7D

從分子、分母分解出 %5Cfrac%7Bk%7D%7BL%7D%20

T_m%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7BL%7D(T_h%20%2B%20T_c)%7D%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7BL%7D(1%2B1)%7D

所以,

T_m%20%3D%20%5Cfrac%7BT_h%20%2B%20T_c%7D%7B2%7D





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