每一個音頻工作者都會接觸到這種工具：

或者這樣的：

這是頻譜儀（Spectrum Meter）。有一定經驗的混音師，可以迅速地從頻譜儀中判斷出聲音的頻率特性，并以此為參考進行調整。我們也可以感性地認識到，聲音就是由各種各樣的頻率疊加在一起，并且隨著時間變化的。對于時間域上的波形，我們可以看到聲音的音量變化，但是要看到頻率的特點，你不得不借助頻譜儀。

而頻譜儀的實現的基礎，以及聲音的頻率分析的根本，都指向一個本與音頻無關的科學家身上。他就是傅里葉（Jean Baptiste Joseph Fourier）。他提出的傅里葉變換（Fourier Transform），已然成為現代信息科技的支柱，在音頻技術中也無時無刻不存在。如果你想要更清晰地理解頻率的概念，你一定要對傅里葉變換有所了解。

接下來的“頻率”專題文章中，我會以音頻工作者的視角，對聲音處理中涉及到頻率的問題進行解釋。而第一部分就是傅里葉變換。?

1.?正弦波

如果你對傅里葉變換有耳聞，那么你大概知道，傅里葉變換的基底就是正弦函數。?

正弦波，為什么是正弦波？?

事實上，正弦波有很多數學上的優(yōu)異特性，比如求導、積分、求冪等運算后的結構都是自身的線性變換，比如歐拉公式e^(jωt)=sin(ωt)+jcos(ωt)中把正弦、余弦函數和e、π、虛數j聯系起來，這在復變函數中非常方便于運算。通過歐拉公式，我們在分析中習慣性地把正弦函數sin(x)和帶有虛數的exp(jω)等同起來。另外，在線性時不變系統中的特征函數就是正弦函數。?

總之，由于它具有優(yōu)異的數學性質，而且聽覺上，正弦波也給人一種“純凈”的感覺，它也和人耳聽覺極限掛鉤，從工程經驗上說，確實適合用于音頻分析。?

正弦函數的一般公式是：，其中A指的是振幅，描述正弦波最大能達到多大；f指的是頻率，由于前面乘了個“2π”，這里的f指的是每秒鐘完成幾個周期，單位是赫茲（Hz）；φ指的是相位，表示這個正弦波相對于原始的狀態(tài)挪動了多大的一個角度。下面這個圖象是振幅A=0.8，頻率f=100Hz，相位（初始相位）等于-30°（-π/6）的波形。

正弦函數曲線?需要注意的是，相位（Phase）這個概念經常被混淆，尤其是跟“聲像（Pan）”出現混淆。聲像的定義在后續(xù)文章中會提到，這里專門解釋一下相位。相位的單位是角度，它對正弦波形狀的影響，是和頻率掛鉤的。比如對于一條100Hz和一條200Hz的曲線，相位同樣是-π/6，但是他們相對于時間的平移并不一樣：

因為相位是角度單位，信號的頻率越高，周期越小，則同樣角度下的時間長度越小。?

有一個顯而易見的結論：知道了一個正弦波的幅度、頻率和相位，就可以完美復原這個正弦波。?

2.?傅里葉變換說了什么？

傅里葉變換（在音頻信號的范疇內）的意思是，任意的波形，都可以分解為一系列的正弦波的疊加。這些正弦波，大小不一、長度不一、相位（時間差）不一，但是對于任意的音頻信號，總是可以分解出一系列的正弦波來疊加的。

如上圖所示，三個不同的正弦波疊加成綠色的總波形，經過傅里葉變換之后可以計算出各個頻率的大小和偏移量（相位），然后重構出原始的三個波形。實際上，信號經過傅里葉變換之后，再進行反傅里葉變換，可以無損地得到原始波形。?

而傅里葉變換計算出來的結果，就是各個頻率的大小和相位（偏移量）。把各個頻率的大小匯總到一張圖里，就成了我們熟悉的頻譜（嚴格來講叫做幅度譜）；各個頻率的相位匯總到一張圖里，就成了相位譜。?

頻譜：可以知道信號中包含了什么頻率、各個頻率有多少，但不知道相位是什么；

相位譜：僅可以知道信號中包含的各個頻率的相位。（范圍-180°~+180°）?

我們常用的分析工具是頻譜。相位譜在一些分析中也有用，但一般不作為混音的參考儀表。?真實的信號中不容易有這么干凈的頻譜分量，實際的錄音中往往存在著各種各樣的頻率，比如這個：?

?然后我們看頻譜：?

幾乎每個頻率都存在著一定的量，只不過有主有次而已。這才是現實中的頻譜。

此時你會發(fā)現，這樣的頻譜只告訴你某個時刻（實際上是“特別短的時間段”）下的頻譜。但是眾所周知音樂是時間的藝術，頻率一直隨著時間在變，雖然我們可以通過觀察這個圖象的變化來了解時間上的頻率特性，但是有沒有辦法用一個圖來表示頻率分量的大小隨時間的變化狀態(tài)呢？有的。?

3.?頻譜與時頻圖

傳統的頻譜圖，是這樣定義的：?

這是二維的圖像，沒有時間信息！如果要引入時間信息的話，我們需要加一個維度。?

我們可以用3D圖像來表示不同時間的頻譜，比如iZotope Insight 2的頻譜工具：?

如果要節(jié)省計算資源的話，也可以省去3D空間，我們用顏色來表示幅度的大小，Adobe Audition和iZotope RX8都這么干：?

RX8中提供一個刻度的調整，如果音量過低，可以拉動顏色和幅度對應的條子來控制：

像這樣，可以看到各個頻率分量的大小隨著時間變化的圖像，叫做時頻圖（Time-frequency Image）。當然，在音頻領域中，大家都約定俗成地混淆在一起，時頻圖和前面提到的幅度譜，都可以統稱為頻譜。

有了傅里葉變換，我們可以看信號的頻譜，借助頻譜，我們可以分析聲音的頻率特性。而頻率特性，讓我們更深入地理解聲音的構成，并創(chuàng)造出了控制聲音頻率的工具——均衡器。?

4.?傅里葉變換，怎么做到的？

（番外篇）

解釋傅里葉變換的原理，通常需要大量公式推導。這里我簡要解釋一下數學原理背后的邏輯。?

想象一種運算，可以實現這種功能：已知一個聲音信號A，和一個正弦波S，正弦波的頻率f可以任意變化。當A和S參與這種運算之后，可以單獨過濾出聲音A中包含的頻率f的分量。S正弦波的頻率依次變化，就像查戶口一樣，挨個問聲音信號A：“你有沒有f頻率？”“你這個頻率有多大？”“你這個頻率相位多少？”。?

這樣的運算，叫做內積。?

通過盤問A信號的“戶口信息”，我們就可以算出A里面包含了多少頻率，每個頻率量多大，相位多少。當我們按照頻率依次列出幅度的序列，就得到了頻譜；列出相位的序列，就得到了相位譜。這就是傅里葉變換的本質。

本文作者：艾夫

音樂制作人、編曲人、混音師、艾楽音樂工作室主理人、華中科技大學光電信息專業(yè)碩士。