預備知識：

1. 定義：設a1，a2，…，an是n個正數(shù)，則分別稱

   （a1+a2+…+an）/n，（a1a2…an）^（1/n），n/（1/a1+1/a2+…+1/an）

   是它們的算術平均值、幾何平均值和調(diào)和平均值。

2. 平均值不等式：對任意n個正數(shù)a1，a2，…，an，有

   （a1+a2+…+an）/n>=（a1a2…an）^（1/n）>=n/（1/a1+1/a2+…+1/an），

   等號當且僅當a1，a2，…，an全部相等時成立。

3. 夾逼準則：若三個數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}從某項開始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，則lim yn=a.

4. 兩個多項式f（x），g（x）互素的充分必要條件是存在多項式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；

5. 如果（f1（x），g（x））=1，（f2（x），g（x））=1，那么（f1（x）f2（x），g（x））=1.

參考資料：

1. 《數(shù)學分析》（陳紀修 於崇華 金路）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《大學教材全解 高等代數(shù)（北大第三版）》（總策劃：薛金星 主編：劉建波）

數(shù)學分析——

例題（來自《數(shù)學分析（陳紀修?於崇華?金路）》）——

求下列數(shù)列的極限：

1. 若lim an=a，則lim（a1+a2+…+an）/n=a；
   

2. 設an>0，lim an=a，求證：lim（a1a2…an）^（1/n）=a；
   

3. lim（1/n?。（1/n）.

解：

i.分類討論（由特殊到一般）——

當a=0時——

1. lim an=0，即對任意小數(shù)ε>0，存在N1∈N*，當n>N1時，|an|<ε/2；
   

2. 對于給定的N1，a1+a2+…+aN1為一個常數(shù)，則{（a1+a2+…+aN1）/n}為無窮小，即lim（a1+a2+…+aN1）/n=0，即對任意小數(shù)ε>0，存在N2∈N*，當n>N2時，|（a1+a2+…+aN1）/n|<ε/2；

3. 取N=max{N1，N2}，當n>N時，

   |（a1+a2+…+an）/n|

   <=|（a1+a2+…+aN1）/n|+|（aN1+1+aN1+2+…+an）/n|

   <|（a1+a2+…+aN1）/n|+|（aN1+1+aN1+2+…+an）/（n-N1）|

   <ε/2+ε/2

   =ε，

   即lim（a1+a2+…+an）/n=0.

當a≠0時——

1. 令bn=an-a，則lim bn=0；

2. 于是，

   lim（b1+b2+…+bn）/n

   =lim[（a1-a）+（a2-a）+…+（an-a）]/n

   =lim（a1+a2+…+an）/n-a

   =0，即lim（a1+a2+…+an）/n=a，證畢。

ii.由均值不等式——

1. （a1+a2+…+an）/n>=（a1a2…an）^（1/n）>=n/（1/a1+1/a2+…+1/an），其中

   n/（1/a1+1/a2+…+1/an）=1/[（1/a1+1/a2+…+1/an）/n]；

2. 由i的結(jié)論得到：

   lim（a1+a2+…+an）/n=a，lim1/[（1/a1+1/a2+…+1/an）/n]=1/（1/a）=a；

3. 由夾逼準則：lim（a1a2…an）^（1/n）=a.

iii.

1. 已知lim 1/n=0，則

   lim（1/n！）^（1/n）

   =lim[（1/1）（1/2）…（1/n）]^（1/n）

   =lim 1/n
   

   =0.

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

設a，b為兩不共線向量，證明u=a1a+b1b，v=a2a+b2b共線的充要條件是

證：

充分性——

1. 若a1b2-a2b1=0，則b1=（a1/a2）b2；

2. 則u=a1a+b1b=a1a+（a1/a2）b2b，v=a2a+b2b，于是u=（a1/a2）v，所以u，v共線。

必要性——

1. 若u，v共線，即存在不全為0的數(shù)λ，μ，使得λu+μv=0，即λ（a1a+b1b）+μ（a2a+b2b）=0，于是（λa1+μa2）a+（λb1+μb2）b=0；

2. 因為a，b不共線，則λa1+μa2=0，λb1+μb2=0，又λ，μ不全為0，即可得a1b2-a2b1=0.

高等代數(shù)——

例題（來自《大學教材全解 高等代數(shù)（北大第三版）（總策劃：薛金星 主編：劉建波）》）——

設（f（x），g（x））=1，證明：

（f（x）g（x）（f（x）+g（x）），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1.

分析：注意到后一個式子是前一個式子中因式f（x）g（x）與因式f（x）+g（x）的和，逐步分析。

證明：

1. 由預備知識4：已知（f（x），g（x））=1，則存在多項式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；

2. 由1：[u（x）-v（x）]f（x）+v（x）[f（x）+g（x）]=1，則（f（x），f（x）+g（x））=1；

3. 得到預備知識4的推論：已知（f（x），g（x））=1，則（f（x），f（x）+g（x））=1，同理，（g（x），f（x）+g（x））=1；

4. 由3和預備知識5：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1；

5. 由3、4：（f（x）g（x），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1，且，（f（x）+g（x），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1；

6. 由5和預備知識5：（f（x）g（x）（f（x）+g（x）），f（x）g（x）+f（x）+g（x））=1，證畢。