平面中使用高斯定理

# 不考慮平面厚度

## 場強方向定性

無窮對稱性

• 一維無限長直導線
• 二維無限平板（對稱性可證場強垂直平面）——拓展為圓盤

## 高斯面的選取

選取圓柱面（可取圓柱軸垂直于平面）

## 計算場強

# 考慮平面厚度

## 電荷分布在兩側(cè)

### 兩側(cè)同種電荷

• 定性兩側(cè)各個平板的場強方向
• 定量與疊加

### 兩側(cè)異種電荷

• 定性兩側(cè)平板的場強方向
• 定量與疊加

意義：其與平行板的性質(zhì)為一致

## 電荷分布在里面

類比球體場強分布，分類討論

### 內(nèi)部場強時

• 取高斯面

• 場強計算

### 外部場強時

• 定性（之前已經(jīng)判斷過了）
• 取高斯面

• 求解場強

注意：高斯面選擇圓柱面

靜電平衡

# 概念

## 導體電荷：自由電子等效為導體電荷（正/負）運動

## 外部電場與導體電場抵消從而形成靜電屏蔽（靜電平衡）

# 導體各個部分的定義

注意：內(nèi)部不包含空腔部分（單連通與復連通）

• 凈電荷：正負電荷的代數(shù)和（注意：區(qū)分凈電荷指的物體區(qū)域范圍）

• 孤立導體：外界無關(guān)聯(lián)的導體

# 靜電平衡的定理

• 靜電平衡：導體內(nèi)部與外部場強疊加后，場強為0

• 復連通區(qū)域空腔的凈電荷為0，則內(nèi)部凈電荷為0

• 復連通區(qū)域空腔的凈電荷為Q，內(nèi)部電荷為-Q

• 導體為等勢體，等勢面

# 導體中的場強

• 高斯定理

1. 場強方向垂直于小平面
2. 取高斯面（將圓柱面一底面置于導體內(nèi)部）

3.求解

• 躍變法

1.小導體的分析

高階微元：相對于微元的微元

在高階微元的小平面 => 小平面無限大平板

2.大導體分析

導體內(nèi)部為零 => 大導體與小導體場強相反

對于大導體的試電荷移動至小導體邊界過程中，僅僅變化為高階小量，因此場強將保持連續(xù)（場強大小方向不變）

計算場強結(jié)果

# 尖端放電:尖端密度大，場強較強

反證法（證明尖端場強更強）

尖端與非尖端的關(guān)系比較（電勢相等）

變換為場強表示 => 場強E 反比于半徑r

思考：尖端放電的條件（E 不等于0）

# 唯一性定理：確定分布狀況（Q、V），有且僅有一個電場狀況

## 邊界條件

1. 全部電荷Q的分布
2. 全部電勢V的分布
3. 一些電荷Q分布和剩下的電勢分布

## 靜電屏蔽 => 導體內(nèi)外狀況相區(qū)別

導體問題的基本思路

求出電荷Q、電荷面密度σ、場強E、電勢φ

# 例題1：電荷Q（注意內(nèi)部小導體實心球+q不存在內(nèi)表面）

## 無導線求電荷Q

求外部球殼所帶的中的電荷量

### 接地問題（接地物體不意味著電荷全部流失）

作用

1. 零電勢的確定
2. 給了電荷流通的通道

### 求球殼的內(nèi)表面

電荷-q（高斯定理）以及其分布為均勻分布（由內(nèi)部球?qū)ΨQ得出）

### 求球殼外表面

研究球心處的電勢，表達式較為簡單（[靜電平衡的性質(zhì)]此時可看作電荷全部分布在表面包括小實心球殼、外球殼內(nèi)表面和外球殼外表面）

圓心的電勢φ表達式

另一種電勢表示（積分式）

求解

### 有導線求電荷

在添加一根導線將小球與外球殼連接，求外球殼的電量

連接后小球與外球殼等電勢

球心處的電勢0 => 外球殼的電量

求解

# 例題2：求電荷面密度σ的問題

問題如下

## 躍變法

由靜電平衡性質(zhì)可知導體電荷都將分布在表面

平面點邊界上躍變（q的場強連續(xù)）與對稱性（對于導體表面電荷的場強分布關(guān)于y軸對稱），可得場強E方向為

場強E大小為

電荷面密度σ為

## 電像法：轉(zhuǎn)化為基本分布的部分（思路講解）

轉(zhuǎn)化為電偶極子的電場的一半

# 例3：平行板問題（注意需將平行板當作有厚度板處理，便于使用導體的性質(zhì)）

## 高斯定理在平行板的推論

Eε = σ

### 兩平板之間的電通量為0（兩高斯面均至平行板內(nèi)部），故

### 內(nèi)部場強為0

### 兩平行板的電荷相對等量異號，相背為等量同號

## 例題3題目：平行板問題

### 無導線連接問題

A、B等量異號，電勢差為u0，加入C、D原先不帶電，求AC、CD、DB之間的場強與電勢

由平行板電荷相對異號，相背同號與A，B相異可得A的左表面、B的右表面電荷均為0

求出原先的電荷面密度σ

求出各個平行板的表面面密度σ

求解電勢φ、場強E

### 有導線連接a

A、B等量異號，電勢差為u0，加入C、D原先不帶電，之后C、D連接導線，然后撤去導線。求連上導線后AC、CD、DB之間的場強與電勢。

各個平行板的電荷分布，求出場強E

### 有導線連接b

A、B等量異號，電勢差為u0，加入C、D原先不帶電，之后C、D連接導線穩(wěn)定后撤去，再將AB連接。求連上導線后AC、CD、DB之間的場強與電勢。

設各個平行板的電荷分布

由C、D板電荷守恒（與有導線a狀況的總電荷保持一致）可列出方程（圖中亦標出電勢可能性）

A、B等電勢可出列

求解電荷分布結(jié)果

求解場強與電勢（注意計算結(jié)果的方向）

續(xù)

### 有電源連接a

A、B等量異號并連接電源電勢差為u0，加入C、D原先不帶電，求連上導線后AC、CD、DB之間的場強與電勢差

電荷分布、場強與電勢差

### 有電源連接b

A、B等量異號并連接電源電勢差為u0，加入C、D原先不帶電，之后C、D連接導線穩(wěn)定后撤去。求連上導線后AC、CD、DB之間的場強與電勢差

可出電勢、場強（C、D之間電勢、場強為0）

### 有電源連接c

A、B等量異號并連接電源電勢差為u0，加入C、D原先不帶電，之后C、D連接導線穩(wěn)定后，CD導線與電源隨之撤去，再將AB連接。求連上導線后AC、CD、DB之間的場強與電勢差

設電荷分布如上圖，由電荷守恒與A、B電勢相等，得

解出電荷分布

求出場強、電勢

## 復連通的感應球殼問題

### 球心中心放置電荷

求感應電荷

### 偏心處放置電荷

求感應電荷分布，試問球殼外表面電荷分布是否對稱？（答：對稱的）

因為內(nèi)表面與點電荷場強疊加已為0，外表面除了保證電荷守恒也應保證場強為0，而當分布為均勻時場強將恰好為0

### 偏心處放置電荷且球殼外表面接地

球殼外表面正電荷將流失

電容器

定義：能儲存電（電荷）的容器（注意不一定為兩塊導體，也可為一塊導體對于與無窮遠處所形成的電容）

## 定義式

C = Q/u

注意：Q為任意一對異號電荷量，電容是標量且大于0，與電量Q無關(guān)

## 例題

### 例1:單導體球

### 例2：同心嵌套導體球殼

### 例3：平行板

應用`導體`：高斯定理在平行板的推論：Eε = σ

### 例4：嵌套同心圓柱殼

電勢差為(使用高斯定理：高斯面為同心圓柱面，可求出場強表達式E(r))

## 串并聯(lián)電容器（與電阻關(guān)系的聯(lián)想）

### 串聯(lián)電容

### 并聯(lián)電容

## 串并聯(lián)電容的例子

### 定理

• 電荷守恒（針對電路節(jié)點的電荷總量為0）
• 環(huán)路定理（在環(huán)路內(nèi)的電勢總和為0）

### 例1

求下圖電容器的電荷量？

可設電量與推導處下圖的電荷分布圖

電荷守恒與環(huán)路定理得

求解結(jié)果為

### 例2：電容器的連接的分解

a.并聯(lián)

b.串聯(lián)

c. 并聯(lián)

并聯(lián)的拓展

靜電能

靜電能屬于場的能量（例子：重力勢能），量的體現(xiàn)場的大小與場的分布的廣泛程度

靜電能包含

• 互能：兩個體系之間的作用的能量
• 自能：一個系統(tǒng)的內(nèi)部各個部分之間的作用的能量

# 例題：靜電能

電源（電勢為U）給予電容充能，求解電容器的靜電能

求解靜電能W結(jié)果如下

## 電容器

### 在外加恒壓電源下

電容器面積減半，則

靜電能變化

電場分布不變

# 例子：靜電能的自能與互能

## 互能

### 例1：分立的點電荷的互能

求N個點電荷的互能

互能求解為

轉(zhuǎn)化為電勢表示式

=> 連續(xù)分布的電荷互能表示式

### 連續(xù)體的互能的推導

球電荷電勢

電荷微元dq可表示為

則連續(xù)分布互能表達式

此處可忽略微元電荷對自己的電勢的推導（up的看法）

## 自能（up主沒講部分內(nèi)容）

# 靜電能與能量密度

求下列帶電體的靜電能（φ內(nèi)為自身激發(fā)的電勢），圈出部分為自能表達式

使用能量密度（單位靜電能的密度）表示靜電能

## 例：能量密度與靜電能

電荷+q半徑R3處為一空腔(至R2)，求金屬球的靜電能

分析分布圖如下

### 電勢表示法為

因過于繁雜不再計算

### 使用能量密度法

對于空腔內(nèi)的靜電能

對于金屬球殼的靜電能、總結(jié)果