第十五章 中值定理（3）——拉格朗日中值定理【最重要、最核心】

一、知識(shí)點(diǎn)

1. 拉格朗日中值定理：
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   04:05

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2. 內(nèi)容：
3. 條件：①[a,b]上連續(xù)；②(a,b)內(nèi)可導(dǎo)
4. 結(jié)論：則存在ξ屬于(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a)) / (b-a)
5. 幾何直觀：
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   05:21

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6. 注解：
7. 拉格朗日加上"f(b)=f(a)"的條件就退化成羅爾定理。
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   12:47

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8. 拉格朗日中值定理的幾個(gè)等價(jià)形式：
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   13:32

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9. f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a), ξ屬于(a,b)
10. 任意x,f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0), ξ位于x與x0內(nèi)部
11. 有限增量公式：f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](x-x0), 0<θ<1.
12. 若函數(shù)在[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且f'(x)恒等于0，則x在區(qū)間[a,b]上，f(x)是常函數(shù)。
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    20:42

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13. 關(guān)于拉格朗日中值定理最常用的幾個(gè)基本思路：
14. 基本思路1：
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    28:30

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    （差值）
15. 見(jiàn)到兩點(diǎn)函數(shù)值 或 f(b)-f(a) 或 (f(b)-f(a))/(b-a)，想到用拉格朗日
16. 基本思路2：
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    54:18

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    （溝通相鄰階導(dǎo)數(shù)，0階就是原函數(shù)）
17. 溝通f與f'（或f'與f''）
18. 基本思路3：
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    60:41

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    （（三點(diǎn)函數(shù)值，用兩次拉格朗日）
19. 三點(diǎn)函數(shù)值（或者四點(diǎn)），主要是階數(shù)相同，使用兩次拉格朗日
20. 如果兩項(xiàng)的復(fù)雜度不同，先擱置簡(jiǎn)單項(xiàng)，還原復(fù)雜項(xiàng)
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    01:09:16

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21. 還原之后有可能用到拉格朗日，也有可能用到柯西
22. 幾個(gè)重要結(jié)論：（見(jiàn)圖1）（記）

圖1：幾個(gè)重要結(jié)論

二、證明

1. 證明拉格朗日中值定理：
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   07:44

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2. 證明“若函數(shù)在[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且f'(x)恒等于0，則x在區(qū)間[a,b]上，f(x)是常函數(shù)”：
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   21:42

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3. 證明“arcsinx+arccosx=π/2”：
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   25:15

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4. 用拉格朗日注解3證明
5. 用基本思路1證明不等式：
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   36:35

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6. 證明幾個(gè)重要結(jié)論：（使用拉格朗日中值定理證）
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   40:10

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8. ?

   42:41

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9. ?

   47:15

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10. 用基本思路2的證明題：
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    55:45

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11. 用基本思路3的證明題：
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    01:02:14

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12. 又忘了介值定理求出的ξ是在閉區(qū)間上的
13. 用基本思路3的證明題：
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    01:12:04

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14. 使用基本思路3(2)的證明題：
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    01:18:36

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15. 含ξ、η的項(xiàng)復(fù)雜度不同=>η復(fù)雜=>集中η

三、計(jì)算

1. 使用基本思路1求極限：
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   30:04

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2. 注意細(xì)節(jié)，體會(huì)一下做題步驟