同學(xué)們大家好，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)泰勒公式

泰勒公式由兩部分組成:第一部分為多項(xiàng)式,第二部分為余項(xiàng)

它其實(shí)是光滑函數(shù)的另一種表達(dá)。

1 泰勒公式表示光滑函數(shù)

以光滑函數(shù)為例(下圖中的綠色曲線)。多項(xiàng)式是如何逼近的。

注意到此時(shí)，多項(xiàng)式是約等于光滑函數(shù)。而如果加上余項(xiàng)后，約等號(hào)就能變成等號(hào)了。

在本文中，我們不討論余項(xiàng)，單看多項(xiàng)式是如何逼近光滑函數(shù)的

2 多項(xiàng)式中的

在多項(xiàng)式中，除了自變量，還有一個(gè)可以變動(dòng)的參數(shù)

它代表的是泰勒公式的展開(kāi)位置。?時(shí)，?泰勒公式在點(diǎn)處展開(kāi)。

此時(shí)，多項(xiàng)式與光滑函數(shù)在點(diǎn)附近貼合的較好

時(shí)，泰勒公式在點(diǎn)處展開(kāi)。此時(shí)多項(xiàng)式與光滑函數(shù)在點(diǎn)附近貼合的較好。

本文將以,即泰勒公式在點(diǎn)展開(kāi)為例，講解多項(xiàng)式是如何逼近光滑曲線的。

3 冪函數(shù)

將多項(xiàng)式展開(kāi)

去掉系數(shù)后，可以看到多項(xiàng)式的基礎(chǔ)組成部分是冪函數(shù)

冪函數(shù)可以分為偶函數(shù)和奇函數(shù)兩種

偶函數(shù)開(kāi)口方向相同，奇函數(shù)開(kāi)口方向相反

它們組合在一起就能產(chǎn)生拉伸的曲線

讓我們看個(gè)更復(fù)雜的例子

4 復(fù)雜的例子

4.1 第一次靠近

藍(lán)色表示的是光滑函數(shù)，多項(xiàng)式是的一次方

此時(shí)可以看到，在綠色區(qū)域，多項(xiàng)式與光滑函數(shù)貼合的較好，而紅色區(qū)域，多項(xiàng)式開(kāi)始遠(yuǎn)離光滑函數(shù)。

為了貼近光滑函數(shù)，左邊的紅色區(qū)域需要向上彎，右邊的紅色區(qū)域需要向下彎。

兩邊彎的方向不一致，需要的是奇函數(shù)。這里選擇

與多項(xiàng)式相加，確實(shí)達(dá)到了左邊向上，右邊向下的效果。

但是，之前表現(xiàn)較好的綠色區(qū)域，卻出現(xiàn)了多項(xiàng)式與光滑函數(shù)貼合不好的情況。

說(shuō)明彎的有點(diǎn)過(guò)頭了，這時(shí)可以考慮給加一個(gè)系數(shù)。加上系數(shù)后，奇函數(shù)顯得更為扁平。

此時(shí)再與多項(xiàng)式相加，就達(dá)到了預(yù)期的效果。

4.2 第二次靠近

接著，為了繼續(xù)靠近，需要左邊向下彎，右邊向上彎

彎的方向不一致，還是選擇奇函數(shù)

與此奇函數(shù)相加，多項(xiàng)式更貼合光滑函數(shù)了

看完這個(gè)例子，讓我們回到本文開(kāi)始的地方。

5 開(kāi)頭的例子

需要逼近的光滑曲線用藍(lán)線表示，多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是常數(shù)1

為了靠近光滑函數(shù)，需要左邊向下彎，右邊向上彎

彎的方向不一致，需要加奇函數(shù)，選擇與的一次方相加。相加后的多項(xiàng)式呈一條斜的直線

此時(shí)為了逼近光滑函數(shù)，需要同時(shí)向上彎。

彎的方向一致，需要加偶函數(shù)，選擇與相加。

隨著項(xiàng)數(shù)的增加，多項(xiàng)式不斷逼近光滑曲線。

6 總結(jié)

這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了泰勒公式。并著重講解了，零點(diǎn)展開(kāi)的多項(xiàng)式，如何逼近光滑函數(shù)。

不過(guò)對(duì)于系數(shù)該怎么確定，余項(xiàng)代數(shù)式如何表達(dá)，都沒(méi)有展開(kāi)

這些留待以后再給同學(xué)們講解。