橢圓方程x2/4+y2=1
取橢圓上一點(diǎn)為(x?,y?)
過該點(diǎn)的切線方程為x?x/4+y?y=1
令x=0,得y=1/y?,即Q(0,1/y?)
令y=0,得x=4/x?,即P(4/x?,0)
PQ2=(4/x?)2+(1/y?)2=42/x?2+12/y?2
即求取x?2/4+y?2=1的條件下
42/x?2+12/y?2的最小值
令x?2=m,y?2=n(m,n＞0)
化為m+4n=4的條件下16/m+1/n的最小值
16/m+1/n=42/m+22/(4n)≥(4+2)2/(m+4n)=9
當(dāng)4/m=2/(4n)時取等
即m=8n,即8n+4n=4,n=1/3
即y?=√n=√3/3
則1/y?=√3,即OQ=√3

ps:取最值處步驟運(yùn)用權(quán)方和不等式

另外,上述橢圓上一點(diǎn)切線方程結(jié)論之證明:
橢圓方程即b2x2+a2y2=a2b2
其一階微分方程(隱函數(shù)求導(dǎo))為:
b22xdx+a22ydy=0
即dy/dx=-b2x/(a2y)
設(shè)(x?,y?)為橢圓上一點(diǎn)
則該點(diǎn)關(guān)于橢圓的切線為
y-y?=-b2x?/(a2y?)*(x-x?)
即a2y?y+b2x?x=b2x?2+a2y?2
即xx?/a2+yy?/b2=1