2023年東三省數(shù)學(xué)建模A題B題C題D題思路分析
2023年東北三省數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽
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1 競賽信息
東北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽是由東北三省有關(guān)高校聯(lián)合發(fā)起的面向中學(xué)生，大學(xué)生和研究生的賽事，旨在進一步普及數(shù)學(xué)建模教育，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，進而增強其創(chuàng)新意識和團隊合作意識，提高學(xué)生綜合素質(zhì)。
東北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽始于2006年，是根據(jù)全國數(shù)學(xué)建模組委會的倡導(dǎo)，由東三省數(shù)學(xué)建模組委會組織，面向黑龍江、吉林、遼寧三省大學(xué)生、研究生和中學(xué)生的科技賽事，是東三省高校中規(guī)模最大的課外科技活動之一，在高校和大學(xué)生中具有廣泛影響力。發(fā)起這一賽事的目的是進一步普及數(shù)學(xué)建模教育、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)、增強創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。
競賽開始時間：7月25日，論文截止時間根據(jù)學(xué)校各不相同
3 競賽形式和規(guī)則
競賽將采用“2023年深圳杯數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽”題目，在深圳市尚龍數(shù)學(xué)技術(shù)中心網(wǎng)站上公布。
4 建模常見問題類型
趁現(xiàn)在賽題還沒更新，A君給大家匯總一下深圳杯數(shù)學(xué)建模經(jīng)常使用到的數(shù)學(xué)模型，題目八九不離十基本屬于一下四種問題，對應(yīng)的解法A君也相應(yīng)給出
分別為：
分類模型
優(yōu)化模型
預(yù)測模型
評價模型
4.1 分類問題
判別分析：
又稱“分辨法”，是在分類確定的條件下，根據(jù)某一研究對象的各種特征值判別其類型歸屬問題的一種多變量統(tǒng)計分析方法。其基本原理是按照一定的判別準(zhǔn)則，建立一個或多個判別函數(shù)；用研究對象的大量資料確定判別函數(shù)中的待定系數(shù)，并計算判別指標(biāo)；據(jù)此即可確定某一樣本屬于何類。當(dāng)?shù)玫揭粋€新的樣品數(shù)據(jù)，要確定該樣品屬于已知類型中哪一類，這類問題屬于判別分析問題。
聚類分析：
聚類分析或聚類是把相似的對象通過靜態(tài)分類的方法分成不同的組別或者更多的子集，這樣讓在同一個子集中的成員對象都有相似的一些屬性，常見的包括在坐標(biāo)系中更加短的空間距離等。聚類分析本身不是某一種特定的算法，而是一個大體上的需要解決的任務(wù)。它可以通過不同的算法來實現(xiàn)，這些算法在理解集群的構(gòu)成以及如何有效地找到它們等方面有很大的不同。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類：
BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法。其由輸入層、中間層、輸出層組成的階層型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，中間層可擴展為多層。RBF（徑向基）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：徑向基函數(shù)(RBF-Radial Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有單隱層的三層前饋網(wǎng)絡(luò)。它模擬了人腦中局部調(diào)整、相互覆蓋接收域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：是一個具有單層計算神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)是線性閾值單元。主要用來模擬人腦的感知特征。線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：是比較簡單的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由一個或者多個線性神經(jīng)元構(gòu)成。采用線性函數(shù)作為傳遞函數(shù)，所以輸出可以是任意值。自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括自組織競爭網(wǎng)絡(luò)、自組織特征映射網(wǎng)絡(luò)、學(xué)習(xí)向量量化等網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式。K近鄰算法： K最近鄰分類算法，是一個理論上比較成熟的方法，也是最簡單的機器學(xué)習(xí)算法之一。
4.2 優(yōu)化問題
線性規(guī)劃：
研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的數(shù)學(xué)理論和方法。英文縮寫LP。它是運籌學(xué)的一個重要分支，廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)計劃、物流運輸、資源分配、金融投資等領(lǐng)域。建模方法：列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；畫出約束條件所表示的可行域；在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解及最優(yōu)值。
整數(shù)規(guī)劃：
規(guī)劃中的變量（全部或部分）限制為整數(shù)，稱為整數(shù)規(guī)劃。若在線性模型中，變量限制為整數(shù)，則稱為整數(shù)線性規(guī)劃。目前所流行的求解整數(shù)規(guī)劃的方法往往只適用于整數(shù)線性規(guī)劃。一類要求問題的解中的全部或一部分變量為整數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃。從約束條件的構(gòu)成又可細(xì)分為線性，二次和非線性的整數(shù)規(guī)劃。
非線性規(guī)劃：
非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運籌學(xué)的一個重要分支。非線性規(guī)劃研究一個 n元實函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且 目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是 線性函數(shù)的情形則屬于線性規(guī)劃。
動態(tài)規(guī)劃：
包括背包問題、生產(chǎn)經(jīng)營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問題等。動態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時間劃分階段的動態(tài)過程的優(yōu)化問題，但是一些與時間無關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃(如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃)，只要人為地引進時間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。
多目標(biāo)規(guī)劃：
多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個約束條件。有n個決策變量，k個目標(biāo)函數(shù)， m個約束方程，則：Z=F(X）是k維函數(shù)向量，Φ（X）是m維函數(shù)向量；G是m維常數(shù)向量；
4.3 預(yù)測問題
回歸擬合預(yù)測
擬合預(yù)測是建立一個模型去逼近實際數(shù)據(jù)序列的過程，適用于發(fā)展性的體系。建立模型時，通常都要指定一個有明確意義的時間原點和時間單位。而且，當(dāng)t趨向于無窮大時，模型應(yīng)當(dāng)仍然有意義。將擬合預(yù)測單獨作為一類體系研究，其意義在于強調(diào)其唯“象”性。一個預(yù)測模型的建立，要盡可能符合實際體系，這是擬合的原則。擬合的程度可以用最小二乘方、最大擬然性、最小絕對偏差來衡量。
灰色預(yù)測
灰色預(yù)測是就灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測。是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進行預(yù)測的方法?；疑A(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況。其用等時距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。馬爾科夫預(yù)測：是一種可以用來進行組織的內(nèi)部人力資源供給預(yù)測的方法.它的基本 思想是找出過去人事變動的 規(guī)律,以此來推測未來的人事變動趨勢.轉(zhuǎn)換矩陣實際上是轉(zhuǎn)換概率矩陣,描述的是組織中員工流入,流出和內(nèi)部流動的整體形式,可以作為預(yù)測內(nèi)部勞動力供給的基礎(chǔ).
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測
BP網(wǎng)絡(luò)（Back-ProPagation Network）又稱反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)， 通過樣本數(shù)據(jù)的訓(xùn)練，不斷修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值使誤差函數(shù)沿負(fù)梯度方向下降，逼近期望輸出。它是一種應(yīng)用較為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，多用于函數(shù)逼近、模型識別分類、數(shù)據(jù)壓縮和時間序列預(yù)測等。
支持向量機法
支持向量機(SVM)也稱為支持向量網(wǎng)絡(luò)[1]，是使用分類與回歸分析來分析數(shù)據(jù)的監(jiān)督學(xué)習(xí)模型及其相關(guān)的學(xué)習(xí)算法。在給定一組訓(xùn)練樣本后，每個訓(xùn)練樣本被標(biāo)記為屬于兩個類別中的一個或另一個。支持向量機(SVM)的訓(xùn)練算法會創(chuàng)建一個將新的樣本分配給兩個類別之一的模型，使其成為非概率二元線性分類器(盡管在概率分類設(shè)置中，存在像普拉托校正這樣的方法使用支持向量機)。支持向量機模型將樣本表示為在空間中的映射的點，這樣具有單一類別的樣本能盡可能明顯的間隔分開出來。所有這樣新的樣本映射到同一空間，就可以基于它們落在間隔的哪一側(cè)來預(yù)測屬于哪一類別。
4.4 評價問題
層次分析法
是指將一個復(fù)雜的 多目標(biāo)決策問題 作為一個系統(tǒng)，將目標(biāo)分解為多個目標(biāo)或準(zhǔn)則，進而分解為多指標(biāo)（或準(zhǔn)則、約束）的若干層次，通過定性指標(biāo)模糊量化方法算出層次單排序（權(quán)數(shù)）和總排序，以作為目標(biāo)（多指標(biāo)）、多方案優(yōu)化決策的系統(tǒng)方法。
優(yōu)劣解距離法
又稱理想解法，是一種有效的多指標(biāo)評價方法。這種方法通過構(gòu)造評價問題的正理想解和負(fù)理想解，即各指標(biāo)的最大值和最小值，通過計算每個方案到理想方案的相對貼近度，即靠近正理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解的程度，來對方案進行排序，從而選出最優(yōu)方案。
模糊綜合評價法
是一種基于模糊數(shù)學(xué)的綜合評標(biāo)方法。 該綜合評價法根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的隸屬度理論把定性評價轉(zhuǎn)化為定量評價，即用模糊數(shù)學(xué)對受到多種因素制約的事物或?qū)ο笞龀鲆粋€總體的評價。 它具有結(jié)果清晰,系統(tǒng)性強的特點,能較好地解決模糊的、難以量化的問題,適合各種非確定性問題的解決。
灰色關(guān)聯(lián)分析法（灰色綜合評價法）
對于兩個系統(tǒng)之間的因素，其隨時間或不同對象而變化的關(guān)聯(lián)性大小的量度，稱為關(guān)聯(lián)度。在系統(tǒng)發(fā)展過程中，若兩個因素變化的趨勢具有一致性，即同步變化程度較高，即可謂二者關(guān)聯(lián)程度較高；反之，則較低。因此，灰色關(guān)聯(lián)分析方法，是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，亦即“灰色關(guān)聯(lián)度”，作為衡量因素間關(guān)聯(lián)程度的一種方法。
典型相關(guān)分析法：
是對互協(xié)方差矩陣的一種理解，是利用綜合變量對之間的相關(guān)關(guān)系來反映兩組指標(biāo)之間的整體相關(guān)性的多元統(tǒng)計分析方法。它的基本原理是：為了從總體上把握兩組指標(biāo)之間的相關(guān)關(guān)系，分別在兩組變量中提取有代表性的兩個綜合變量U1和V1（分別為兩個變量組中各變量的線性組合），利用這兩個綜合變量之間的相關(guān)關(guān)系來反映兩組指標(biāo)之間的整體相關(guān)性。
主成分分析法（降維）
是一種統(tǒng)計方法。通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。在用統(tǒng)計分析方法研究多變量的課題時，變量個數(shù)太多就會增加課題的復(fù)雜性。人們自然希望變量個數(shù)較少而得到的信息較多。在很多情形，變量之間是有一定的相關(guān)關(guān)系的，當(dāng)兩個變量之間有一定相關(guān)關(guān)系時，可以解釋為這兩個變量反映此課題的信息有一定的重疊。主成分分析是對于原先提出的所有變量，將重復(fù)的變量（關(guān)系緊密的變量）刪去多余，建立盡可能少的新變量，使得這些新變量是兩兩不相關(guān)的，而且這些新變量在反映課題的信息方面盡可能保持原有的信息。設(shè)法將原來變量重新組合成一組新的互相無關(guān)的幾個綜合變量，同時根據(jù)實際需要從中可以取出幾個較少的綜合變量盡可能多地反映原來變量的信息的統(tǒng)計方法叫做主成分分析或稱主分量分析，也是數(shù)學(xué)上用來降維的一種方法。
因子分析法（降維）
因子分析是指研究從變量群中提取共性因子的統(tǒng)計技術(shù)。最早由英國心理學(xué)家C.E.斯皮爾曼提出。他發(fā)現(xiàn)學(xué)生的各科成績之間存在著一定的相關(guān)性，一科成績好的學(xué)生，往往其他各科成績也比較好，從而推想是否存在某些潛在的共性因子，或稱某些一般智力條件影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。因子分析可在許多變量中找出隱藏的具有代表性的因子。將相同本質(zhì)的變量歸入一個因子，可減少變量的數(shù)目，還可檢驗變量間關(guān)系的假設(shè)。
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜合評價法
2023年東北三省數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽
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