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介紹

對商業(yè)周期的分析需要提取時間序列的周期性成分，該時間序列通常也受到諸如潛在趨勢或噪聲等其他因素的影響。本文介紹了一些在最近的文獻中用于從給定系列中提取商業(yè)周期的方法。它基于Stock and Watson（1999）在“宏觀經(jīng)濟學(xué)手冊”中關(guān)于商業(yè)周期的章節(jié)。我還介紹了相對較新的方法，如小波濾波器或經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?，這些方法未在手冊中介紹。由于這篇文章的重點是在R中實現(xiàn)某些過濾技術(shù)，我不會涉及數(shù)學(xué)。相反，我將參考各自的文獻。對于這些例子，我使用了美國實際gdp的季度數(shù)據(jù)，這是我直接從FRED獲得的。

為了直觀地了解提取時間序列的周期性成分意味著什么，請查看下圖中隨時間變化的對數(shù)實際gdp的發(fā)展情況。

數(shù)據(jù)有明顯的增長趨勢，到目前為止似乎逐漸變小。此外，該系列似乎以一種或多或少的常規(guī)方式圍繞這一趨勢波動。該系列與趨勢的偏差非常小，這種偏差經(jīng)常發(fā)生，但也有相當(dāng)大的偏差，這種偏差可能會持續(xù)幾個后續(xù)時期。后者是與商業(yè)周期分析相關(guān)的波動。

時間趨于衰退

從一系列中排除趨勢的第一種方法是在時間變量上回歸感興趣的變量并獲得剩余值。這些在下圖中繪制，其中線性趨勢被移除。

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這種方法相對有爭議，因為它假設(shè)存在一個恒定的線性時間趨勢。正如我們上面所看到的，鑒于趨勢增長率隨時間的穩(wěn)步下降，這種情況不太可能發(fā)生。然而，仍然可以假設(shè)時間趨勢的不同函數(shù)形式，例如添加二次項，以擺脫趨勢。這種方法的另一個缺點是它只能排除趨勢，而不能排除噪聲，即系列中的非常小的波動。

差分

接下來的方法是采用第一個差異，因為它通常被教導(dǎo)以獲得固定的時間序列。這假設(shè)數(shù)據(jù)是不穩(wěn)定的。取得第一個差異的結(jié)果顯示在下圖中，其中它也與時間趨勢系列進行比較。差異數(shù)據(jù)在零線附近波動得更多，但它也包含很多噪聲。

Hodrick Prescott過濾器

Hodrick和Prescott（1981）開發(fā)了一種濾波器，它將時間序列分為趨勢，周期和噪聲分量。該功能包含在包中，需要時間序列和平滑參數(shù)。文獻表明后者的值為1600。但是，也可以選擇更高的值。下圖顯示了Hodrick-Prescott濾波器獲得的實際gdp的周期性成分值，并將其與線性去趨勢系列的值進行了比較。兩個系列的行為看起來非常相似，只是HP系列在零附近波動較大，而線性去趨勢系列仍然包含趨勢的組成部分。此外，循環(huán)HP系列還包括一些類似噪音的組件。

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Baxter過濾器

Baxter和King（1994,1999）提出了一種濾波器，它可以產(chǎn)生與HP濾波器類似的結(jié)果，但它可以消除上面顯示的許多類似噪聲的行為。該功能也包含在包中。它需要系列，周期數(shù)量的下限和上限，假定周期發(fā)生（和），以及平滑因子。文獻（參見NBER，Stock和Watson（1999））表明商業(yè)周期持續(xù)6至32個月。這些值用于指定循環(huán)周期的下限和上限。BK濾波器的結(jié)果如下圖所示。該方法的一個相對系列的缺點是平滑因子導(dǎo)致在系列的開始和結(jié)束時觀察的丟失。這可能是小樣本的問題。

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小波濾波器

Yogo（2008）提出使用小波濾波器從時間序列數(shù)據(jù)中提取商業(yè)周期。這種方法的優(yōu)點是該功能不僅可以提取系列的趨勢，周期和噪聲，而且可以更加具體地說明周期發(fā)生的周期。然而，由于該技術(shù)只能捕獲2的冪的周期性，即2,4,8,16,32等，所以沒有完全的自由度。

R中的方法實現(xiàn)也很簡潔，但在使用之前需要一些額外的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。一個有用的功能包含在包中并被稱為（“多分辨率分析”）。它需要時間序列的不同版本和分解的深度。

該函數(shù)給出了多個系列，必須將它們累積起來，將它們轉(zhuǎn)換回反映周期性模式的數(shù)據(jù)。此外，一些系列可以結(jié)合使用。當(dāng)應(yīng)該一起分析持續(xù)8到16和16到32個周期的周期時，這很有用，如下圖所示。毫不奇怪，小波濾波器產(chǎn)生與BK濾波器類似的結(jié)果，因為循環(huán)周期的上限在兩者中相等，下限僅相差2。

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經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）

基于Huang等人。（1998）Kozic和Sever（2014）提出經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸庾鳛樯虡I(yè)周期提取的另一種方法。該函數(shù)可以在包中找到，并且需要不同的時間序列，邊界條件和規(guī)則，該規(guī)則指定迭代過程在哪個點獲得了足夠令人滿意的結(jié)果并且可以停止。該濾波器方法的結(jié)果與HP，BK和小波濾波器相比有所不同。每項研究的任務(wù)都是評估使用這種方法是否合理。

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