本文是本人給出的2021年復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)的每周一題[問題2021A15]的解答

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在他的博客提供的每周一題練習(xí)

（鏈接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文僅供學(xué)習(xí)交流，如有錯誤懇請指正！

[問題2021A15](1)設(shè)是整系數(shù)多項式，.設(shè)存在素數(shù)p，使得，證明:有一個次數(shù)的不可約因子.

(2)設(shè)為正整數(shù)，p為素數(shù)，證明:在有理數(shù)域上不可約.

證明(1)設(shè)，其中

只需討論的情形，否則意味著自身不可約，結(jié)論得證.

考慮的常數(shù)項，不應(yīng)當(dāng)為0，否則,矛盾.并且有且僅有一個，使得的常數(shù)項被p整除.記上述,其余所有的連乘積記為，則.

設(shè)，其中且

考慮,兩邊模p有，再考慮，同理可得

以此類推，又由可知，于是我們可以得到.

從而，矛盾！

因此有一個次數(shù)的不可約因子，更具體地，的分解式中一定只有這個不可約因子的常數(shù)項被p整除.

(2)由(1)可知有一個次數(shù)的不可約因子，于是它有有理根或者不可約.只需考慮有有理根的情形，由有理根定理可知根只可能為，只需考慮的情形，分奇偶討論可知n無解.于是在有理數(shù)域上不可約.

注(1)文末附上圖片格式的解法，有需要的讀者可以自行取用，僅供學(xué)習(xí)交流

(2)至此21級復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)I每周一題的參考解答已經(jīng)全部上傳完畢了，我稍后會將解答上傳至網(wǎng)盤，在后臺私信我“21級復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)I每周一題”會自動回復(fù)網(wǎng)盤鏈接，如果失敗了，可以在評論區(qū)中評論；如果覺得我的資料有幫助，可以點贊、收藏、分享或者為我充電，感謝支持！