目錄：

21.1 一元二次方程

21.2.1 配方法

21.2.2 公式法

21.2.3 因式分解法

省略二次函數(shù)，旋轉(zhuǎn)

24.1.4 圓周角

24.2.1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

24.2.2直線與圓的位置關(guān)系

實(shí)驗(yàn)與探究：圓與圓的位置關(guān)系

24.3 正多邊形和圓

24.4 弧長和扇形面積

25.1.1 隨機(jī)事件

25.1.2 概率

?

?

?

?

21.1 一元二次方程（quadratic equation in one unknown）

其一般形式為

ax2+bx+c=0（a≠0）

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 根（root)

b,c都可等于0，但是a不可以等于零

21.2解一元二次方程

1.配方法（在了解直接開平方法之后）

?

目的：降次

方法如下

1）化成一般形式

2）二次項(xiàng)系數(shù)化成1

3）移項(xiàng)將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的另一邊

4）配方（完全平方公式），一般加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，

?即b^2÷4?

or （b÷2）^2?

5.直接開平方,形式為（x+m)2=n

?

2.公式法

公式法是通過配方法而得出。

利用配方法可以推導(dǎo)出求根公式，配方是推導(dǎo)求根公式的中間過程

公式法省去了配方的中間過程，直接利用了配方的結(jié)果

公式法的優(yōu)點(diǎn)是操作簡單，直接計(jì)算，是解一元二次方程的通法

所以公式法不容易出錯(cuò)

???????????

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac。

當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0）沒有實(shí)數(shù)根。

推導(dǎo)過程自己推

?

3.十字相乘法

十字相乘法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來進(jìn)行因式分解。

?

?

24.1.4 圓周角（1）

判斷是否為圓周角

??

1的頂點(diǎn)不在圓上

3的頂點(diǎn)不在圓上

5有一邊不與圓相交

6兩條邊都不與圓相交

??

1.優(yōu)?。创笥诎雸A的弧）上的圓周角小于 90°，恒不變；

2.劣?。ㄐ∮诎雸A的弧）上的圓周角大于90°且與優(yōu)弧上的圓周角互補(bǔ)（互補(bǔ)證明見圓周角2）

3.半圓上的圓周角恒等于90°；

關(guān)于為什么恒不變

弧確定，圓確定，但是圓周角存在三種情況。

所以有三個(gè)不同的確定的答案（以我的理解來說）

??

?

?

結(jié)論是

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

也可得到其他結(jié)論

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

?

圓周角（2）

概念：圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所 有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形.

外接圓：從圓內(nèi)接多邊形開始，這個(gè)圓角叫做這個(gè)多邊形的外接圓

?

??

互補(bǔ)證明（圓周角，圓心角）?

??

因?yàn)椴蛔兟?，所以和確定

得出圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

??

題目補(bǔ)充：∠ACD與∠ABD對(duì)的是同一個(gè)弧， 所以角相等。

拓展：當(dāng)圓內(nèi)接四邊形為平行四邊形時(shí)，圖形為矩形，當(dāng)為菱形時(shí)，圖形為正方形，當(dāng)為梯形時(shí)，圖形為等腰梯形

?

24.2.1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?

??

設(shè)?（符號(hào)打不出來）O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：

點(diǎn)P在圓外 ? d＞r

點(diǎn)P在圓上 ? d=r

點(diǎn)P在圓上 ? d＜r

“?”：等價(jià)于

過已知點(diǎn)作圓過一點(diǎn)

結(jié)論：過一點(diǎn)可以畫無數(shù)個(gè)圓，圓心為這個(gè)點(diǎn)以外的任意一個(gè)點(diǎn)

??

過兩點(diǎn)

結(jié)論：過兩點(diǎn)可以畫無數(shù)個(gè)圓，圓心在兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上。

由三角形外接圓得

過三點(diǎn)

結(jié)論：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓（有且僅有這一個(gè)）

畫 圖 方 法

連接三點(diǎn)

任意畫兩條線段的中垂線，交點(diǎn)為圓心

其中

?經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓（circumcircle)，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心（circumcenter）

當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，任取兩點(diǎn)，都沒有交點(diǎn)。

??

這里運(yùn)用了反證法

反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得出原命題成立，這種方法叫做反證法。

24.2.2 直線與圓的位置關(guān)系（1）??

圓與直線的不同關(guān)系，記半徑為r，圓心點(diǎn)O到直線l的距離為d

1.??一個(gè)公共點(diǎn)，我們說這條直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

?此時(shí)d=r

2.??兩個(gè)公共點(diǎn)，我們說這條直線與圓相交，這條直線叫做圓的割線。

?此時(shí)d＜r

3.沒有公共點(diǎn)，我們說這條直線與圓相離。

此時(shí)d＞r

?

易得

直線l與?O相交?d＜r

直線l與?O相切?d=r

直線l與?O相離?d＞r

對(duì)比如下

??

?tips:公共點(diǎn)此時(shí)的定義為同時(shí)處于圓與直線的 交點(diǎn)，圓心不在圓上，不屬于公共點(diǎn)，故不存在三個(gè)公共點(diǎn)的情況。

24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系（2）

??

得出切線的判定定理

??

外接圓：從圓內(nèi)接多邊形開始，這個(gè)圓角叫做這個(gè)多邊形的外接圓

??

互補(bǔ)證明（圓周角，圓心角）?

??

因?yàn)椴蛔兟铮院痛_定

得出圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

??

題目補(bǔ)充：∠ACD與∠ABD對(duì)的是同一個(gè)弧， 所以角相等。

?

拓展：當(dāng)圓內(nèi)接四邊形為平行四邊形時(shí)，圖形為矩形（好像攝像機(jī)的鏡頭），當(dāng)為菱形時(shí)，圖形為正方形，當(dāng)為梯形時(shí)，圖形為等腰梯形

?

24.2.1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?

??

設(shè)?（符號(hào)打不出來）O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：

點(diǎn)P在圓外 ? d＞r

點(diǎn)P在圓上 ? d=r

點(diǎn)P在圓上 ? d＜r

“?”：等價(jià)于

過已知點(diǎn)作圓

過一點(diǎn)

結(jié)論：過一點(diǎn)可以畫無數(shù)個(gè)圓，圓心為這個(gè)點(diǎn)以外的任意一個(gè)點(diǎn)

??

過兩點(diǎn)

結(jié)論：過兩點(diǎn)可以畫無數(shù)個(gè)圓，圓心在兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上

??

過三點(diǎn)

結(jié)論：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓（有且僅有這一個(gè)）

畫 圖 方 法：

連接三點(diǎn)，任意畫兩條線段的中垂線，交點(diǎn)為圓心

其中，經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓（circumcircle)，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心（circumcenter）

??

這里運(yùn)用了反證法

反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得出原命題成立，這種方法叫做反證法。

?

24.2.2 直線與圓的位置關(guān)系（1）

引入新知

??

圓與直線的不同關(guān)系，記半徑為r，圓心點(diǎn)O到直線l的距離為d

1.??一個(gè)公共點(diǎn)，我們說這條直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。此時(shí)d=r

??

2.兩個(gè)公共點(diǎn)，我們說這條直線與圓相交，這條直線叫做圓的割線。此時(shí)d＜r

??

3.沒有公共點(diǎn)，我們說這條直線與圓相離。此時(shí)d＞r

??

易得：

直線l與?O相交?d＜r

直線l與?O相切?d=r

直線l與?O相離?d＞r

對(duì)比如下

??

tips:公共點(diǎn)此時(shí)的定義為同時(shí)處于圓與直線的 交點(diǎn)，圓心不在圓上，不屬于公共點(diǎn)，故不存在三個(gè)公共點(diǎn)的情況。

24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系（2）

??

得出切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

判定方法：

那？可以互逆嗎？

?

當(dāng)然可以！

24.2.2 直線與圓的位置關(guān)系（3）

??

方法是反證法。

??

即由切點(diǎn)，圓得出垂直

??

同樣由性質(zhì)出發(fā)。

得出結(jié)論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線一定經(jīng)過切點(diǎn)。

另一個(gè)結(jié)論：經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線一定經(jīng)過圓心。

24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系（4）

??

當(dāng)有兩條切線時(shí)

??

得出切線長（過圓外一點(diǎn)P有兩條直線PA，PB分別與?O相切，經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切線之間線段的長叫做這點(diǎn)到到圓的切線長）定理：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

?

實(shí)驗(yàn)與探究：圓與圓的位置關(guān)系

1.沒有公共點(diǎn)

??

2.一個(gè)公共點(diǎn)

??

3.兩個(gè)公共點(diǎn)

??

4.一個(gè)公共點(diǎn)

??

5.沒有公共點(diǎn)

??

6.圓心重合

??

繼續(xù)移沒有意義，無非就是鏡面翻轉(zhuǎn)

所有情況：

??

如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離。如情況1，5，6

其中1叫外離，5，6叫內(nèi)含，6是內(nèi)含中的特殊情況，叫同心圓

如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切。如情況2，4

其中2叫外切，4叫內(nèi)切

如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交。如情況3

所以

??

如果?O1與?O2的半徑分別為r1和r2（r1＜r2），圓心距為d

外離（1）：d＞r1+r2

外切（2）：d=r1+r2

相交（3）：r1-r2＜d＜r1+r2

內(nèi)切（4）：d=r2-r1

內(nèi)含（5，6）：0＜或者=d＜r1-r2

同心圓（6）：d=0

?

24.3 正多邊形和圓（1）

??

以圓內(nèi)接正五邊形為例。

1.外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。

2.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

3.正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。

4.中心到正多邊形一邊的距離叫正多邊形的邊心距。

正多邊形的判斷：

首先要糾正個(gè)誤區(qū)

1.各邊相等的多邊形不一定是正多邊形。

2.各角相等的多邊形不一定是正多邊形。

3.各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形。

但是，各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，以正方形為例

??

拓展：

關(guān)于正n邊形的中心角，外角度數(shù)計(jì)算

度數(shù)相等都為360/n

??

直角三角形的組成元素為正多邊形的半徑，邊心距，邊長一半。

以及

[圓外切多邊形的定義]

把圓分成n（n大于或等于3）等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫做這個(gè)圓的外切正n邊形 。

?

24.3 正多邊形和圓（2）

[如何作出圓內(nèi)接正三角形]

1.利用圓心角，圓周角的關(guān)系得出

??

2.用量角器度量

??

3.使半徑成為角平分線

??

4.作 出 長 度

??

5.用圓規(guī)在圓上順次截取6條長度等于半徑r的弦，連接其中的相鄰兩條弦的頂點(diǎn)構(gòu)成鈍角等腰三角形，如此循環(huán)三次得出等邊三角形（離譜)

??

[如何作出圓內(nèi)接正方形]

??

1.直接根據(jù)正方形的特征作出

2.作出垂直半徑，得到邊長AB，得到正方形

3.作出垂直直徑，連接。

其他的正多邊形做法省略

?

24.4.1 弧長和扇形面積（1）

寫在開始：設(shè)弧長為l，圓心角為n°，半徑為R

?

[求弧長]

由圓的周長公式以及圓心角可得：

l=2πR（周長公式）×n÷360（即圓心角占這個(gè)圓的占比）

即

??

??

扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形。

一般地，n<180°時(shí)記作如扇形OAB的形式。

180°<n＜360°時(shí)記作如扇形OCED的形式。

那么可以提出以下問題

What the area of sector depends on？

半徑R和圓心角n

And……

How can we get it？

??

對(duì)比一下l的計(jì)算公式

可得S扇形=lR÷2

?

24.4 弧長和扇形面積（2）

As we know。

圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的幾何體。

有關(guān)圓錐的線段

圓錐的高：連接圓錐頂點(diǎn)與底面圓心的線段。

圓錐的母線：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意任意一點(diǎn)的線段。

所以：圓錐的母線有無數(shù)條

那么，設(shè)母線為l，高為h，半徑為r

加上勾股定理，我們可以得出以下結(jié)論

h2+r2=l2

h，r為定值。得到另一個(gè)結(jié)論

圓錐的母線長都相等

哪怕是圓錐啊，也離不開傳統(tǒng)藝能

算 面 積（側(cè)面積和全面積）

這個(gè)時(shí)候，我們需要一張二向箔

展開后，他的側(cè)面積是個(gè)扇形

??

這個(gè)扇形的半徑很容易想清楚

為母線l

弧長就是底面的圓周長

根據(jù)扇形的另一個(gè)計(jì)算公式

就可以求出來側(cè)面積公式

面積公式中的半徑為母線l，弧長為2πr

除2得側(cè)面積為

S側(cè)=πrl

全面積也迎刃而解了

S全=πr（r+l）

又用第一個(gè)扇形面積計(jì)算公式

得出圓心角的計(jì)算公式

??

得到n等于360r÷l

?

數(shù)學(xué)活動(dòng)：探究四點(diǎn)共圓的條件

?

之前在點(diǎn)和圓的位置關(guān)系中說過

“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓（有且僅有這一個(gè)）”

當(dāng)變?yōu)樗狞c(diǎn)時(shí)呢？

?

換句話說

過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？

?

?

從特殊的四邊形開始

正方形~可以的哦

??

矩形~可以的哦

??

平行四邊形…… 沒有公共點(diǎn)

??

等腰梯形~可以的哦

??

直角梯形……

??

那么，可以四點(diǎn)共圓的包括（但不限于）正方形，矩形，等腰梯形。

從“邊”的角度看，都有一組對(duì)邊平行，可是有一組對(duì)邊平行的四邊形也不一定四點(diǎn)共圓。

從“角”的角度看，在僅討論矩形的情況下

可以提出猜想：

有三個(gè)角是直角的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

不證自明

將直角的個(gè)數(shù)縮減到兩個(gè)時(shí)

分類討論

當(dāng)相鄰時(shí)

由直角梯形可知，不一定共圓

相對(duì)之時(shí)呢

我希望你能好好想一下這個(gè)問題

?

答案是可以共圓

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

結(jié)合我們所看到的，得出結(jié)論：

經(jīng)過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，可以作一個(gè)圓。

?

25章 概率初步

“我發(fā)誓，整個(gè)九年級(jí)你再找不到一個(gè)比我更簡單的章節(jié)了?！薄怕食醪?/p>

?

25.1.1 隨機(jī)事件

為了保持文字的統(tǒng)一，嚴(yán)謹(jǐn)。“事情”均以"事件"稱。

對(duì)于一件事件的發(fā)生，人們把它分為三類

1.必然事件：在一定條件下，有些事件必然會(huì)發(fā)生，這樣的事情稱為必然事件。

2.不可能事件：在一定條件下，有些事情必然不會(huì)發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件。

3.隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件。

我們稱必然事件，不可能事件統(tǒng)稱為確定性事件。

一般地，隨機(jī)隨機(jī)的發(fā)生的可能性是有大小的。

就像103個(gè)黑球和1個(gè)白球，你當(dāng)然更容易摸到黑球。

?

25.1.2 概率

一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A)。

一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果那么事件A發(fā)生的概率P(A)=m/n?

比較簡單就看題吧

??

（2022廣東中考）

必然事件時(shí)，概率等于1

不可能事件時(shí)，概率等于0

?

25.2 用列舉法求概率

我們一般的研究對(duì)象僅有一個(gè)，但在現(xiàn)實(shí)中，研究對(duì)象往往不止一個(gè)（大概率）

同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣

求兩枚全部正面朝上的概率

可能的情況有

正正 正反 反正 反反

（說豎著的把他給我拖出去，baka?。?/p>

所以當(dāng)出現(xiàn)“正正”時(shí)，P（A）=四分之一

當(dāng)實(shí)驗(yàn)對(duì)象太多的時(shí)候，我們采用列舉法來探討。

??

?

??

（2021廣東中考）

當(dāng)研究對(duì)象變成三枚硬幣時(shí)

為了考慮所有情況可以分類討論

當(dāng)?shù)谝幻稙?#34;正"時(shí)

情況為：

正正正 正正反 正反正 正反反

當(dāng)?shù)谝幻稙?#34;反"時(shí)

情況為：

反正正 反正反 反反正 反反反

有點(diǎn)麻煩？

可以用「樹狀圖」！

??

1，2，3代表的是層數(shù)

即第一枚，第二枚……

冷知識(shí)：實(shí)驗(yàn)中任意一種特定情況（即其八種情況中的任意一種）出現(xiàn)概率為1/8，即1/2^3，第一枚2種情況，第二枚2種，第三枚2種，2×2×2=8，求其倒數(shù)得出概率

（跑偏了咳咳）

列出樹狀圖，然后列舉就行了

?

25.3 用頻率估計(jì)概率

頻率（frequency），指每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值，比值m/n稱為事件發(fā)生的頻率。

從拋擲硬幣這個(gè)問題來說

20世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家，生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家， 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)立者卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）將一枚硬幣投擲了24000次，其中12012次正面向上，接近拋擲硬幣的50/100的概率（0.5005）。

當(dāng)拋硬幣的次數(shù)足夠多時(shí)，頻率愈發(fā)趨近于概率。

?

即：通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性。因此可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)該事件發(fā)生的概率

那么，為什么我們要用這種方法呢？

因?yàn)樗皇堋案鞣N結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制。

比如……

拋圖釘/拋石頭等質(zhì)量分布不均的東西

?

比如移植成活率，損壞率，發(fā)芽率這些不能直接得到概率的。

頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)或不同次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的事情的頻率都可能不同，而概率是一個(gè)確定數(shù)。是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)。

?作者：云語散言 https://www.bilibili.com/read/cv17355603?spm_id_from=333.999.0.0&;jump_opus=1 出處：bilibili