一、卡爾曼濾波的本質(zhì)

????????預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值和觀測(cè)數(shù)據(jù)的加權(quán)求和后，獲得的一個(gè)新的值作為卡爾曼濾波的預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)值公式入下所示：

二、觀測(cè)值、預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的關(guān)系假設(shè)

????????事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中，無(wú)論是預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值，還是實(shí)際的觀測(cè)值，它們都存在誤差或者說(shuō)隨機(jī)干擾。也就是說(shuō)，二者和真實(shí)值還存在誤差，換而言之沒(méi)有誤差的預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值就是真實(shí)值。在這里我們假設(shè)這個(gè)誤差服從正態(tài)分布，這就可以得出以下公式：

三、方差計(jì)算緣由及計(jì)算過(guò)程

????????插入一個(gè)問(wèn)題，既然卡爾曼濾波的本質(zhì)是獲得多種方式得到的預(yù)測(cè)值進(jìn)行加權(quán)平均，那么最樸素的求平均值（圖3）難道就不行嗎，它比卡爾曼濾波差在哪里。

????????其實(shí)，要知道哪種方式預(yù)測(cè)效果更好，就看哪個(gè)預(yù)測(cè)值的方差最小，畢竟方差就是衡量預(yù)測(cè)值相對(duì)于期望值（真實(shí)值）的離散程度。那么這個(gè)問(wèn)題就變成了計(jì)算者的方差大小了。

首先是最樸素的平均值算法，其方差值為：

????????值得注意的是，其中真實(shí)值y是一個(gè)具體的數(shù)值，不存在方差。

????????接著計(jì)算加權(quán)平均值算法，其對(duì)應(yīng)的方差值為：

????????看完計(jì)算后的方差公式，就要對(duì)比哪個(gè)方差更大，但考慮k∈[0, 1]之間，這表明D2是一個(gè)變量，那么就要計(jì)算它的最大值，即max{D2}?？紤]σ1和σ2是一個(gè)正數(shù)且為常量值，因而僅需確定k值即可獲得最大值，那么通過(guò)對(duì)公式求導(dǎo)（圖6）就可以獲得極值。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k為圖7值時(shí)獲得極大值。此時(shí)，其方差計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

????????可以發(fā)現(xiàn)：加權(quán)平均值要優(yōu)于普通的平均值。這表明卡爾曼濾波的預(yù)測(cè)值至少能獲得不低于平均值計(jì)算的精度。

四、概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算

????????好了，上面我們說(shuō)過(guò)，預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值都存在服從正態(tài)分布的誤差，這就表示預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值都不是一個(gè)精確的值，而是在一個(gè)服從正態(tài)分布的區(qū)域內(nèi)，且期望值y即為真實(shí)值。

????????現(xiàn)在，我們又知道了預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值都是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)概率值，只是落在某些區(qū)域概率大些，某些區(qū)域概率小一些。事實(shí)上，我們希望卡爾曼濾波得出來(lái)的值既在預(yù)測(cè)值的概率范圍內(nèi)又在觀測(cè)值的概率范圍內(nèi)，這樣得到得預(yù)測(cè)結(jié)果才是最可能是真實(shí)值。

????????這就又引發(fā)了一個(gè)問(wèn)題，我們有一個(gè)觀測(cè)值的概率分布，又有一個(gè)預(yù)測(cè)值的概率分布，我們把它們進(jìn)行了概率疊加后，它們的概率疊加會(huì)服從什么分布呢？這就需要我們計(jì)算一下了。先回顧一下正態(tài)分布的公式：

????????可以獲得預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值的分布公式：

????????概率疊加計(jì)算：

????????可以發(fā)現(xiàn)，疊加后的概率分布依舊符合正態(tài)分布，其期望值為y，方差值如圖16。

????????算到這里，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一件很神奇的事情，方差結(jié)果和圖8一樣，而且二者的期望值也一樣都是真實(shí)值。這表明加權(quán)平均就等于概率相疊加。

五、計(jì)算公式初步整理

????????好了，讓我們?cè)賮?lái)捋一下。首先是模型的預(yù)測(cè)值：

????????權(quán)重值計(jì)算：

? ? ????模型的預(yù)測(cè)值的方差：

????????概率疊加后的方差：

????????卡爾曼濾波結(jié)果計(jì)算：

????????值得注意的是這里的k和其他地方不一樣，這是因?yàn)槿缦略颍?br>

六、公式最終整理

第一步，加權(quán)平均值計(jì)算，即最終卡爾曼濾波結(jié)果計(jì)算：

第二步，為了獲取公式（1）中提到的模型預(yù)測(cè)值，需要計(jì)算列公式：

第三步，為了獲取公式（1）中的權(quán)重值，需要計(jì)算概率疊加后的：

第四步，為了獲取公式（3）中的模型預(yù)測(cè)值方差：

第五步，為了獲得公式（4）中提到的概率疊加后的方差：

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