一.前言

UP只是一名初三學生，本專欄中的證明方式具體可見BV1Db411b7UL。同時因為UP第一次寫這么嚴謹?shù)脑掝}和專欄，所以暫時不知道如何打數(shù)學符號，所以在一些地方會使用手寫，望見諒，也希望有大佬能教UP。

二.證明方法

對于證明π是無理數(shù)我們采取反證法。假設π=u/v(其中u、v∈Z且u>v>0)。緊接著通過某種方法找出在這個假設下的矛盾以證明假設錯誤，即原命題正確。

三.具體思路

根據(jù)視頻

BV1Db411b7UL的思維。首先我們要構造一個數(shù)列{An}(別問為什么不用I，感覺有點像1)，其中第一項從A0開始。這個數(shù)列有以下兩個特點：

1.對于任意的非負整數(shù)n，An為正整數(shù)。

2.當n→+∞時，An→0。(特征見下圖)

從此處我們便可以輕易發(fā)現(xiàn)矛盾-一個每一項都是正整數(shù)的數(shù)列極限怎麼可能是0！因此，原命題得到證明。

三、證明特征

綜上所述，我們的證明思路已經(jīng)明確。現(xiàn)在便是如何證明這兩條特征的問題。首先我們先寫出這個數(shù)列An(如下)

首先我們先證明第二條特征:

當n→+∞時，An→0。

在此我使用我的理解去證明這條。假設有一個函數(shù)ψ(x)=f(x)g(x)h(x)，同時當x∈(a，b)時f(x)、g(x)、h(x)均大于0。并且f(x)、g(x)、h(x)在x∈(a，b)時均有各自的極大值點A、B、C。首先將ψ(x)在區(qū)間(α，b)的積分展開(如下)

注意后邊，這三個函數(shù)分別的值肯定分別小于A、B、C。所以它們的乘積肯定小于等于ABC。故對三個函數(shù)值乘積的求和自然小于等于對ABC的求和(見下圖)。

所以原積分的結果便小于其中三個函數(shù)的最大值的乘積乘以(b-a)。 回到原積分，當x∈(0，π)時。x^n最大值為π^n，(π-x)^n最大值為π^n，sinx最大值為1，b-a=π。又因為三個函數(shù)均非常數(shù)函數(shù)，故原積分小于π^(2n+1)。因此我們可以得出以下結果

令n→+∞，可得到下面結論。

對n！使用斯特林公式，可以得到下面結論

因此便證明:

當n→+∞時，An→0

四、繼續(xù)證明

對于第一條特征我們分為兩點證據(jù)

1.證明對于任意的非負整數(shù)n，An>0

2.證明對于任意的非負整數(shù)n，An為正整數(shù)

第一條很容易得證：由于y=x^n，y=(π-x)^n，y=sinx當x∈(0，π)時均大于0，故整體的函數(shù)圖像必然在x軸上(如下圖)，故它們在(0，π)上的積分必大于0，故An>0，得證。

對于第二條我們的證明相對困難。首先，我們先計算一下當n=0、1時是否為正整數(shù)(如下)

很明顯，當n=0、1時An均為正整數(shù)。那么對于任意的整數(shù)n>1，是否也存在這個結論？顯而易見的是如果直接計算這個積分，那工作量會大的離譜。所以我們換一個思路，A2與A0、A1是否存在關系？An是否與A(n-1)以及后面幾項相關？是否存在An的遞推公式？這里我們便來嘗試計算這個積分。計算方法自然是選擇分部積分法。注意到sinx的不定積分為-cosx，再積分一次便是-sinx。所以理論上計算兩次便可以得到遞推公式。而y=x^n(π-x)^n的一階導、二階導也可以輕松求出。有了理論支持，我們便可以上手了。

(函數(shù)的求導)

(第一次分部積分)

經(jīng)過億系列復雜的計算后，我們得到了An的遞推式。很明顯，2v^(2n-1)、v^2u^2均為正整數(shù)。而A0、A1又是正整數(shù)，因此A2、A了……An均為正整數(shù)。因此，原數(shù)列的兩條特征被證明，原命題自然解決。

我們用嚴謹?shù)姆椒ㄗC明出了π為無理數(shù)！

五、結言

有一說一，這個專欄的質(zhì)量很低?？上P沒有電腦，不能使用LaTeX以提高觀感，只能使用這種手寫的方法，希望各位見諒。同時UP寫這個專欄的目的主要是防止我忘記這些知識(施佩爾樂)，以后每周可能都會發(fā)一個專欄用來記敘我去年學習的奇怪的數(shù)學知識。希望各位觀眾老爺可以提出批評建議，當然也希望可以支持UP！