• 目的

• 參數(shù)曲線

? ? ? ?定義如下，可以理解為一個(gè)由映射對(duì)應(yīng)的從一維區(qū)間（a,b）映射到三維空間點(diǎn)（x,y,z）的集合。

? ? ? ?可以將空間中的曲線用參數(shù)化的(x(t)，y(t)，z(t))描述，這樣我們就把三維的曲線變成了一維的形式。其中這個(gè)t我們就說(shuō)是曲線的參數(shù)

• 弧長(zhǎng)

  對(duì)于可微的參數(shù)曲線α(t)，求導(dǎo)然后對(duì)絕對(duì)值做積分

如果參數(shù)t剛好是弧長(zhǎng)時(shí)，|α‘(t)|恒等于1，也可以認(rèn)為速度向量的長(zhǎng)度恒等于1

• 以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線的局部理論

? ? ? ?這一部分的目的是建立一個(gè)描述曲線局部性質(zhì)的框架，以便于用數(shù)學(xué)方式探究曲線的性質(zhì)。由上一部分，我們將曲線的弧長(zhǎng)s設(shè)為參數(shù)，則有曲線α(s)：

則定義出來(lái)了曲率（curvature）|α''(s)|，由于|α'(t)|恒等于1，則α''(s)表示了α'(t)方向的改變速度。在s處曲率越大，則在該處曲線離開(kāi)切線的速度越快：

而且曲率的方向與曲線的定向無(wú)關(guān)。與α''(s)同方向的單位向量 n(s)，成為在s點(diǎn)的主法向量，用t(s)=α'(s)表示在s點(diǎn)的單位切向量。主法向量與單位切向量定義密切平面，定義單位向量b(s)=t(s)×n(s) 是與密切平面正交的向量，稱為從法向量。由于b(s)為單位向量，則長(zhǎng)度|b'(s)|度量了在s的一個(gè)鄰域中，曲線以什么癢的速度離開(kāi)密切平面。至此，描述曲線的框架搭建好了，稱為Frenet框架。

• Frenet公式

  主法向量上可由方程α''(s)=k(s)n(s)，定義k(s)：曲率

  從法向量上有 b'(s)=τ(s)n(s)（也有為-τ(s)的），τ(s)：撓率，細(xì)節(jié)推導(dǎo)如下圖

  單位切向量上用t(s)=α'(s)，則t'(s)=k(s)n(s)，又有n=b×t，n'(s)=b'(s)×t+b(s)×t'(s)=-τb-kt

總結(jié)有：

最后今天也是成為up主的1111天 紀(jì)念一下