我們多多少少都曾聽過類似的言論：實際控制系統(tǒng)絕大多數(shù)用PID就夠了，少部分情況用MPC也能填補。那么事實真的如此嗎？最近幾年所誕生的新興科技里，究竟有沒有前沿控制理論的貢獻？本期文章我們從運載火箭的控制入手，一起探究其中的奧秘。

最近幾年，埃隆馬斯克及其創(chuàng)立的一系列公司如 SpaceX, Tesla, Neuralink, 等等，可謂是萬眾矚目的焦點，一時間風光無限。2018年的時候，SpaceX成功地實現(xiàn)了其自研重型運載火箭“獵鷹9號”（Falcon 9）的發(fā)射與回收。它是歷史上第一枚可多次重復使用一級助推器的液體燃料運載火箭：傳統(tǒng)的火箭在攜帶運載飛船到預定目標之后會自行脫落墜毀，而可回收火箭則可以在使用完成后安全返回地面進行第二次甚至第三次使用?！矮C鷹9號”推翻了運載火箭只能一次性使用的思維定勢，由此改變了商業(yè)航天時代的市場格局 [1]。

而值得注意的是，在獵鷹9號回收過程中，由Stephen Boyd教授主導開發(fā)的凸優(yōu)化算法軟件CVXGEN起了重要作用[2]，幫助引導獵鷹9號火箭成功著陸完成回收。下面的視頻形象地展示了火箭著陸的過程[3]：

那么凸優(yōu)化是如何幫助火箭進行一級回收的？這項技術的難點何在？下面我們就來剖析一下背后的原理。

▌可回收火箭的軟著陸問題

火箭在發(fā)射之后想要進行回收，就需要讓火箭進行“軟著陸”，也就是火箭在靠近地面的時候速度需要盡可能降低，從而最大程度地減小落地帶來的沖擊而保護火箭完成回收。其中最大的難點是怎樣根據(jù)火箭的當前運動狀態(tài)信息（位置、速度、姿態(tài)等），在線實時計算出發(fā)動機應該提供的推力大小和方向，以實現(xiàn)安全精確著陸，其最核心的技術是著陸段的制導算法[4]。

在可回收火箭中，實現(xiàn)這一目的主要依賴的是軌跡優(yōu)化的方法：當火箭還在高空的時候根據(jù)火箭的運動規(guī)劃出一條運動軌跡，由此來調(diào)整發(fā)動機的實時輸出。因此，本質上來說，可回收火箭理論上的技術難點就是利用優(yōu)化方法對軌跡進行實時求解。

這一方法的難處主要在于優(yōu)化問題中約束項的處理：具體的優(yōu)化方程見[5],在該問題中，存在兩個非凸約束：第一個是發(fā)動機推力的幅值約束：

第二個是發(fā)動機推力的姿態(tài)約束：

從圖中可以很明顯地看到這兩個約束是非凸的（區(qū)域中存在兩點，它們之間的連線上的點不在區(qū)域中）這就會導致整個優(yōu)化的求解變成一個非凸優(yōu)化問題，一方面會導致求解速度變慢，另一方面最終求得的解的質量也堪憂（可能只是局部極值）。

這些非凸約束的求解瓶頸嚴重制約著火箭回收時生成的軌跡質量，因此必須要想辦法克服。

▌解決方法——無損凸優(yōu)化技術(lossless convexification)

雖然非凸問題成功轉換成了凸優(yōu)化問題，但如何能保證這樣轉換之后求得的解仍是原問題的解呢？Beh?et A??kmese等利用哈密爾頓函數(shù)以及龐特里亞金最大化原理在數(shù)學上嚴格地證實了解的等價性。因此，這項理論的突破才最終有了實際火箭驗證的可行性。在2013年，SpaceX就開始測試名為Grasshopper的火箭，將無損凸優(yōu)化優(yōu)化算法實現(xiàn)在了真火箭上，用于軟著陸：

https://tv.sohu.com/v/cGwvNjM5ODc4My82MzQ1ODA3Mi5zaHRtbA==.html?vid=63458072&wx=0&channeled=1211020100&aid=6442393

之后經(jīng)過一步步的迭代更新，才有了2018年獵鷹九號的成功回收(軟著陸時間是在29min30s-30min):

https://www.youtube.com/watch?v=wbSwFU6tY1c&t=1836s

當然，火箭軟著陸問題中的非凸約束遠不止這兩個，有興趣的讀者可參考列出的參考文獻，做進一步詳細閱讀。此外，關于對無損凸優(yōu)化方法的評價，可參考

https://www.zhihu.com/question/391756708/answer/2556173863

▌閑談：控制的理論與技術，以及實際應用的關系

SpaceX獵鷹九號可回收火箭的成功是一個非常漂亮的控制實例：從控制理論問題的提出解決，再到實際實驗，形成完善可靠的技術，并不斷改進調(diào)試，最終產(chǎn)業(yè)化。

這一實例不禁讓我們再次思考，對于我們這些做工程科學的研究者而言，應該選擇怎樣的科學問題？如果選擇過于理論的課題，最終的結果能否呈現(xiàn)在實際系統(tǒng)上，而非空中樓閣，鏡花水月。而如果選擇偏實際的課題，其中是否蘊含著有足夠深度的研究問題？如果能夠找到一個既具有足夠的理論深度，同時又具備應用于實際系統(tǒng)的可能，那自然是極好的，也是極幸運的。

路是要一步步地走，就拿無損凸優(yōu)化技術來說吧，Beh?et A??kmese 最早在2005年就提出了相關的技術[7],后來的十多年里針對不同的約束類型和工況一直在改進和完善，最終才得以真正落地，開花結果。

期待有更多優(yōu)質的控制方法從論文中走出，變成真正的生產(chǎn)力，推動社會進步。

參考文獻

[1] “獵鷹9號運載火箭,” 維基百科，自由的百科全書. Jul. 08, 2022. Accessed: Jul. 22, 2022. [Online]. Available: https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%8D%B5%E9%B7%B99%E8%99%9F%E9%81%8B%E8%BC%89%E7%81%AB%E7%AE%AD&oldid=72563280

[2] ? Stanford University, Stanford, and California 94305, “Stephen Boyd’s CVXGEN software helps guide SpaceX Falcon,” SystemX Alliance, Jan. 05, 2021. https://systemx.stanford.edu/news/2021-01-05-000000/stephen-boyd%E2%80%99s-cvxgen-software-helps-guide-spacex-falcon.

[3] Gfycat, “SCvx FeedForward GIF by embersarc,” Gfycat. https://thumbs.gfycat.com/DaringPortlyBlacklab-size_restricted.gif.

[4] “火箭垂直回收，什么‘姿勢’最正確--科技--人民網(wǎng).” http://scitech.people.com.cn/n1/2019/0507/c1007-31070968.html.

[5] B. A??kme?e, J. M. Carson, and L. Blackmore, “Lossless Convexification of Nonconvex Control Bound and Pointing Constraints of the Soft Landing Optimal Control Problem,” IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 21, no. 6, pp. 2104–2113, 2013, doi: 10.1109/TCST.2012.2237346.

[6] D. Malyuta et al., “Convex Optimization for Trajectory Generation.” arXiv, Jun. 16, 2021. doi: 10.48550/arXiv.2106.09125.

[7] B. Acikmese and S. R. Ploen, “Convex Programming Approach to Powered Descent Guidance for Mars Landing,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 30, no. 5, pp. 1353–1366, Sep. 2007, doi: 10.2514/1.27553.

封面圖片：https://www.youtube.com/clip/Ugkx_k-QAqRs89md9QVqJpltWROgHgdGKHc2

本文共1967字

由西湖大學智能無人系統(tǒng)實驗室博士生米軼澤原創(chuàng)

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