【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)58】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
矩陣乘法運算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——
求下述極限：lim[（n^2+n）^（1/2）-n].
解：
（n^2+n）^（1/2）-n
=n/[（n^2+n）^（1/2）+n]
=1/[（1+1/n）^（1/2）+1]；
lim[（n^2+n）^（1/2）-n]=lim {1/[（1+1/n）^（1/2）+1]}=1/2.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
證明若a，b，c為非零向量，則有|（a，b，c)|<=|a||b||c|，并敘述這個不等式的幾何意義，再求等號成立的充要條件。
證明：
|（a，b，c)|
=|（axb)c|
=|axb||c||cos∠（（axb)，c）|
=|a||b||c||sin∠（a，b）cos∠（（axb)，c）|
<=|a||b||c|；
幾何意義：以a，b，c為鄰邊的平行六面體的體積小于等于以|a|，|b|，|c|分別為長，寬，高的長方體的體積；
等號成立的條件：|sin∠（a，b）cos∠（（axb)，c）|=1，即a，b，c互相垂直。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
設(shè)A是n階方陣，A+E可逆，且f（A）=（E-A）（E+A）^（-1），試證明：
[E+f（A）][E+A]=2E.
f[f（A）]=A.
證：
[E+f（A）][E+A]
=[E+（E-A）（E+A）^（-1）][E+A]
=[E+A]+[E-A]
=2E；
f[f（A）]=（E-f（A））（E+f（A））^（-1），
（E+f（A））^（-1）=（E+A）/2，
f[f（A）]
=（E-f（A））（E+f（A））^（-1）
=（E-f（A））[（E+A）/2]
=[E-（E-A）（E+A）^（-1）][（E+A）/2]
=[（E+A）/2]-[（E-A）/2]
=A，證畢.
到這里！
