在之前學(xué)圓錐曲線的時(shí)候，我很好奇的對(duì)橢圓的面積πab是怎么得來的時(shí)候。

首先我用的是仿射變化的方法:將X^2+Y^2=1將X軸拉伸a倍，將Y軸拉伸b倍。

有:X^2/a^2+Y^2/b^2=1

可以將πR^2仿射變化得到πab，但這種方法雖然看上去直接但好像沒有那么的嚴(yán)謹(jǐn)，所以我們接下來用微積分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明一下。

對(duì)于:X^2/a^2+Y^2/b^2=1(這種表示的是在x軸上的橢圓，Y軸的橢圓可以旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成x軸的分析。這樣的橢圓方程表示的是長半軸a，短飯桌為b的橢圓。)

有:此時(shí)，如果我們可以畫出來這個(gè)橢圓。(見圖片)

我們將橢圓的面積定義成一個(gè)S，觀察圖片，我們可以得到這個(gè)橢圓在坐標(biāo)軸上是一個(gè)對(duì)稱圖形(同時(shí)關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱)，這個(gè)時(shí)候我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，此時(shí)，四個(gè)區(qū)間內(nèi)的面積是一樣的，我們將它定義為s。

那么我們就容易得到S=4s

對(duì)于s。我們可以利用微積分來計(jì)算:我們分別有兩種計(jì)算方式。

∫(下0，上a)y dx或者∫(下0，上b)x dy

我們計(jì)算后一種方式，因?yàn)榍耙环N方式會(huì)得到一個(gè)負(fù)值(當(dāng)然，我們也可以直接取絕對(duì)值，但是我們還是計(jì)算后者。關(guān)于前者的過程我也會(huì)寫下來，個(gè)人認(rèn)為結(jié)果相反之原因可能是因?yàn)檎嘞业男再|(zhì)。)

∫(下0，上b)x dy

首先，我們通過上面的標(biāo)準(zhǔn)，方程化為x的形式有:X=a√(1-y^2/b^2)

那么，我們會(huì)得到面積S

S=4a∫(下0，上b)√(1-y^2/b^2) dy

然而，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)東西很難積分，至少對(duì)于一個(gè)高二學(xué)生來說。直接積出來這個(gè)似乎沒有那么容易。所以這個(gè)時(shí)候我們利用參數(shù)方程來進(jìn)行輔助計(jì)算。

我們直接來列出橢圓的參數(shù)方程:

x=cosq.b

y=sinq.b

q，我們將之定義為在第一象限內(nèi)橢圓的任意一點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)的連線和x軸構(gòu)成的角的大小。

此時(shí)，我們?cè)僖淮斡?jì)算上面的公式:

s=∫(下0，上b)x dy

X=cosq.a? ? y=sinq.b

X(q)=cosq.a? ? y(q)=sinq.b

這個(gè)時(shí)候我們求導(dǎo)可以得到:dy/dq=bcosq

dy=bcosq dq

且這個(gè)時(shí)候的區(qū)間為(0,π/2)

我們可以得到:

s=∫(下0，上π/2)abcos^2q dq

S=2ab∫(下0，上π/2)2(1-sin^2q)dq

S=2ab∫(下0，上π/2)1+(1-sin^2q)dq

S=2ab∫(下0，上π/2)(1+cos2q)dq

y'(y=x)=1，y'(y=sin2q)=2cos2q

有:S=2ab(X丨(下0，上π/2)+sin2q/2丨(下0，上π/2))

S=2ab.π/2=πab

注:上面那個(gè)X其實(shí)是由于習(xí)慣寫的并不嚴(yán)謹(jǐn)，更準(zhǔn)確的寫法應(yīng)該是:y'(y=q)=1，S=2ab(q丨(下0，上π/2)+sin2q/2丨(下0，上π/2))

[我們?cè)谶@里省略一大部分∫ydx過程，這一部分過程我們都寫在圖片上。]

到最后我們便可以推出來結(jié)果為S=πab。

這就是我們利用微積分來推導(dǎo)橢圓面積的公式的辦法了，其實(shí)，隨著學(xué)習(xí)的深入。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多我們?cè)?jīng)看著高深的工具也并非完全不可能理解，利用強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具。可能會(huì)使我們?cè)?jīng)無法解決的數(shù)學(xué)難題得到解決。

還有祝大家新年快樂。

(在這里感謝給我給于指導(dǎo)的數(shù)學(xué)老師和我的朋友們，同樣的，如果你們有更好的證明方法或者想法的話也可以在下面指出來。本人數(shù)學(xué)并沒有那么好，希望得到各位大佬的指導(dǎo)與其它的計(jì)算方法的介紹分析。)

注:文中有一處書寫格式有誤，我標(biāo)注了有誤，并且在后面寫出了正確的格式，希望注意。

圖片：

?