? 第一節(jié) 映射與函數(shù)

一，映射

概念

定義 設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素與之對應，那么稱f為從X到Y(jié)的映射，記作

? ? ? ? ? ? ? ? f :X→Y

其中y稱為元素x（在映射下）的像，記作f(x)，即y=f(x),而x被相應的被稱作原像，每個原像的像唯一，而每個像的原像不唯一，Df=X，而Rf包含于Y

單射

x不等則y不等

滿射

Y=Rf

一一映射（雙射）

既是單射又是滿射。

ps：映射又被稱為算子。

逆映射

注意：只有單射才有逆映射（ps：三角函數(shù)等周期函數(shù)一般取其主值區(qū)間，對處于該區(qū)間的部分求逆映射。）

復合映射

注意前后位置，位置不同，意義不同。如f?g（x）=f［g（x）］

二，函數(shù)? 數(shù)集間的對應關系

函數(shù)要素：定義域和對應法則

特性

a. 有界性

（充要條件為既有上界又有下界）

b. 單調(diào)性

（嚴格為<或 >，不含等號）

c. 奇偶性

d. 周期性

（非所有周期函數(shù)有最小正周期，如狄利克雷函數(shù)）

反函數(shù)與復合函數(shù)

函數(shù)運算（和差積商）

初等函數(shù)

雙曲函數(shù)

shx=(e^x -e^-x)/2

chx=(e^x+e^-x)/2

(圖形為懸鏈線，受力全在切線方向）

thx=shx/chx

? 第二節(jié) 數(shù)列極限? （趨向正無窮）

無論e多么小，數(shù)列從某項An以后的項都在a的某一鄰域U(a,e)中，在該鄰域外只有有限項。

性質(zhì)

a. 極限的唯一性

b. 收斂數(shù)列的有界性

c. 收斂數(shù)列的保號性

d. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列必收斂且與母列一致

? 第三節(jié) 函數(shù)的極限

（與某一確定數(shù)的距離不超過e）

性質(zhì)

a. 唯一性

b. 局部有界性

c. 局部保號性

d. 推論：趨向于X0時|f(x)|>A/2,x屬于X0的某一去心鄰域

e. 海涅定理（歸結(jié)原則）

? 第四節(jié) 無窮大與無窮小

? 第五節(jié) 極限運算法則

ps：有限個無窮小的乘積為無窮小

? 第六節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限

1. 夾逼準則

2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限

3. 柯西極限存在準則(柯西審斂原理）

數(shù)列［xn］收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)e，存在正整數(shù)N，使得當 m>N,n>N時，有

|xn-xm|<e

? 第七節(jié) 無窮小的比較

（注意，并非所有無窮小都可以比）

? 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

左右極限都存在為第一間斷點，否則為第二間斷點

? 第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

? 第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1. 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值與最小值。

2. 零點定理

3. 介值定理?

若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且兩端點值不一則必有某數(shù)位于其間。

? ? ? ? ? f（j）=h

4. 一致連續(xù)性