【高等數(shù)學(xué)習(xí)題】如何求f(x)=x^2*ln(1+x)的高階導(dǎo)數(shù)?|萊布尼茨公式
2023-07-06 02:22 作者:思想界，腦補(bǔ)王 | 我要投稿
法一：拉布尼茨法（n≥3）
法二：在x=0處展開(kāi)ln（x+1）的泰勒公式
其中，題干乘了個(gè)x^2,意味著取n*=n-2時(shí)代入公式得 (-1)^(n-3)*x^(n-2)/n-2 這一項(xiàng)乘以額外的x^2后才能湊出 (-1)^(n-3)*x^n/n-2；
之所以要刻意湊含有x^n的項(xiàng)，是因?yàn)楫?dāng)求零點(diǎn)處n階導(dǎo)數(shù)f^(n)(0)時(shí)，低于n次的項(xiàng)在求導(dǎo)時(shí)就已經(jīng)彈盡糧絕化為零了，同時(shí)高于n的項(xiàng)也隨著對(duì)x賦0整體歸零；
這意味著唯有 (-1)^(n-3)*x^n/n-2 可以抗下n階求導(dǎo)與x賦0的雙重篩選；
此時(shí)，我們僅對(duì)這一部分求n階導(dǎo)數(shù)即可獲得答案，即：
(-1)^(n-3)*n!/n-2 （n≥3）
完畢。
標(biāo)簽：
