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平面幾何題目分享(9)一道經(jīng)過“魔改”的解析幾何題

2022-05-05 21:55 作者:一塊兒天空  | 我要投稿

(寫在前面湊字數(shù))本題集主要由我比較喜歡的平面幾何題目組成,也包括一定量改編或自編題。由于信息有限,部分題目可能無法標(biāo)注出處。題目難度基本會保持在高聯(lián)難度,有時也會出現(xiàn)一些較簡單或較困難的題。(本題集無任何教育功能或目的,僅供娛樂)

原題是一次月考的解析幾何大題,題目不難,聯(lián)立韋達定理爆算就行,就不放上來了。下題是經(jīng)過魔改的版本。

如圖,橢圓長軸AB,焦點F,中心O,P,Q為橢圓上關(guān)于長軸對稱的兩點,PQ交AB于H。△PFH外心為M,連接OM并延長交⊙M于N,過N的⊙M切線交直線PQ于T。求證:TABQ四點共圓。

觀察一下圖形,不難發(fā)現(xiàn)圖中有很多熟悉的點。如N點,其軌跡為以AB為直徑的圓(用橢圓定義即可推出),較為困難的是T點,結(jié)合要證的四點共圓,由圓冪定理,能看出其實T的軌跡應(yīng)當(dāng)是一個橢圓(以AB為短軸,離心率于橢圓O相等)?,F(xiàn)在的目標(biāo)很明確:刻畫T點。

設(shè)另一個焦點為E,類似的,做圓PHE及過D的切線,由跟心定理,易得兩切線與PQ三線共點(T)因此點T可看做兩條圓O切線的焦點??墒沁@兩條切線又有什么關(guān)系呢?

這里要經(jīng)過一些倒角,但難度不算大。

由垂直,得TDOFN共圓→∠DON=∠DHN

由中點C,M,O→∠DON=∠EPF

由對視角相等,∠FHN=∠FPN,∠EHD=∠EPD

→∠DPN=∠EHF=180°

即D,P,N三點共線。

擦去其他不必要的線,一個經(jīng)典構(gòu)型映入眼簾。沒錯,由圓的調(diào)和性,可得調(diào)和點列T,P,G,L

由對稱性得GP=QL,簡單倒邊即得GH平方=HP*HT→HA*HB=HQ*HT,再由圓冪定理的逆定理即可證明此題。

以上是這道題的一個略顯笨拙幾何法,不知道有沒有解析法或者更簡潔的幾何方法。有其他做法的大佬們歡迎在評論區(qū)給出你的精彩證明!

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