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1.命題2.40?！熬o閉緊”：緊致空間中任一閉集是緊集。

聽直播時犯的糊涂，沒弄清楚開覆蓋本身是集族，本身并不是集族中集合的并，只不過是用這些集合的并的特點描述集族的性質。

2.命題2.41。Hausdorff空間中任一緊集是閉集。（逆否命題常用，直接推論度量空間）

但一般的拓撲空間中緊致集未必是閉集，例2.72（IR上的有限補拓撲）就是例子。

3.緊致性和連通性性質優(yōu)良。

比如定理2.34顯示，在連續(xù)映射下即可保持緊致性。

4.根據“1”，“2”，有命題2.42。

5.定理2.36。度量空間中集合緊致性和列緊性等價。

①必要性。

反證法。C的有限子覆蓋C'中每個元素都是有限集，因此C'蓋不?。鹸n｝，但由于是子覆蓋卻能蓋住K。

②充分性。

（ⅰ）Lebesgue數引理。反證法。假設不存在開集包含任何S，證明它假設不成立，就是說找到一個S可以被某個開集包含。根據列緊性先錨定某極限點ξ，開覆蓋中必然存在包含ξ的開集，由于極限點的緣故，S必然跟這個開集相交非空，于是只要S直徑取的夠小，就能保證S在這個開集中。

（ⅱ）證明定理2.36的充分性。任取K的開覆蓋C，構造D=｛Nε(x)：x∈K｝（ε=δ/2），Lebesgue數引理保證了若D存在有限子覆蓋，則C中也可以找出相應的有限子覆蓋。

現證明D中存在有限子覆蓋。反證法。假設不存在有限子集族覆蓋K，則可以憑此取出一個序列，任意兩項的度量≥ε，故不存在收斂子列，即K不是列緊集，矛盾，得證。