今天我們繼續(xù)上次的話題，上次我們聊到了，學(xué)科可以大致分為三類：

“第一類，以探索多樣性為目的的學(xué)科，如大多數(shù)的人文藝術(shù)類學(xué)科；?

第二類，以探索真理為目的的學(xué)科，如大多數(shù)自然邏輯類學(xué)科，講究內(nèi)部邏輯嚴絲合縫，一個反例就可以推翻前人堅信了幾千年的真理；

第三類，以探索實用性為目的的學(xué)科，如大多數(shù)工程應(yīng)用類學(xué)科，講究怎樣理論聯(lián)系實際，把書上發(fā)展起來的理論，與現(xiàn)實存在的問題聯(lián)系起來。 ”

我們提到，數(shù)學(xué)屬于第二類，而第二類學(xué)科要

對于第二類學(xué)科，有幾條被普遍接受的要求：

”1. 邏輯自洽性——即內(nèi)部邏輯可以自圓其說，每一項論斷和推理都能從公理（即該學(xué)科的”邏輯起點“）上找到解釋；

? 2.可發(fā)展性——由已知的所有定義和公理定理，可以推導(dǎo)出新的結(jié)論，并且不會與之前的所有理論發(fā)生矛盾；

? 3. 可證偽性——因為這種學(xué)科的目的是為了探索真理，那么就做出了一點預(yù)設(shè)，真理必然是存在且唯一的，所以，即使之前千萬個例子沒出過問題，一個反例的出現(xiàn)足以證偽?！?/p>

第二類學(xué)科的研究與發(fā)展，始終遵循著這三個規(guī)則。

第二類學(xué)科的發(fā)展方式，分為“順向發(fā)展”和“逆向發(fā)展”兩種。

在Ep7中我們詳細地闡述了順向發(fā)展的三大常規(guī)途徑：解題技巧的創(chuàng)新，研究思路的創(chuàng)新，以及，理論體系的創(chuàng)新。

今天我們就來聊聊數(shù)學(xué)研究的逆向發(fā)展。

逆向發(fā)展——指的是，在數(shù)學(xué)的發(fā)展進程中，人類思維不斷完善的過程中，一些思維敏銳的“邏輯鬼才”發(fā)現(xiàn)了本來作為數(shù)學(xué)“邏輯起點”（“邏輯起點”的內(nèi)容見Ep1）的“公理”存在“邏輯漏洞”，后人為了彌補“漏洞”而重新對一些“公理”進行定義和約定，產(chǎn)生了新的“邏輯起點”。

注：這種發(fā)現(xiàn)可不得了！要知道所有的數(shù)學(xué)理論都是以“公理”為前提的，而按照“三段論”來看，大前提都有問題了，之后所有的推理就都是錯的了；

簡單來說，就是這些“婁子”不補上，之前所有的數(shù)學(xué)家都得從土里面爬出來找你算賬！——太恐怖了。

對應(yīng)的就是三次數(shù)學(xué)危機：

a.第一次數(shù)學(xué)危機：也就是根號二的發(fā)現(xiàn)。

要知道那是在兩千多年前的古希臘，所有人的都信仰著這個世界上所有事物都是可以均分的，感慨著“上帝多么牛逼”的時候，忽然冒出來根號二這么個奇葩玩意兒，整個數(shù)學(xué)界都瘋了好嘛！

然而數(shù)學(xué)家的心態(tài)也是很好，雖然有這種東西在，我們也不管它，過了兩千多年的十九世紀下半葉才有了對無理數(shù)的嚴格定義和實數(shù)連續(xù)性的驗證，無理數(shù)的定義我們在Ep3~6聊過；

b.第二次數(shù)學(xué)危機：（需要一點點微積分知識）關(guān)于微積分里△x這個怪物。

理論上來說，是從實數(shù)連續(xù)性推出來極限論，再在極限論的基礎(chǔ)上建立微積分才嚴謹，然而現(xiàn)實的發(fā)展確實反過來的，十七世紀就有了微積分，十九世紀初才有了極限論，再之后才有了實數(shù)的嚴格定義，數(shù)學(xué)家也都真是心大！

所以當(dāng)時微積分的運算就有問題了——

因為沒有極限符號，所以就有人問牛頓：你計算的時候把△x當(dāng)作除數(shù)，說明他不是0；你算出來結(jié)果又不要它了，說明它是0，一個數(shù)怎么可以一會兒是0一會兒不是0？牛頓自然是沒有給出讓這個人滿意的答復(fù)的。

于是當(dāng)事人就諷刺地把△x成為“數(shù)學(xué)的幽靈”。

而我們學(xué)過極限論的都知道，求解微積分的過程其實是一個求極限的過程，求極限的過程其實是一個讓△x無限靠近0的過程，而取極限的步驟往往會放在最后一步，△x本身不是零而是一個變量所以可以做除數(shù)，而取極限之后，△x最極致的狀態(tài)就是取為0，所以極限運算后沒有了。

注：于是，極限論里有一個重要常識就是——一個變量的極限，這個變量不一定能達到；

比如1/n（n取正整數(shù)）構(gòu)成的無限數(shù)集，隨著n的增大，1/n不斷減小，極限為0，但是，你從中間任取一項都比0大。

c.第三次數(shù)學(xué)危機：一個理發(fā)師引發(fā)的……命案？哦，不，慘劇！——大名鼎鼎的“羅素悖論”

各位上過高中的寶寶，大聲告訴我，高中必修一第一章學(xué)的是什么？對頭，就是“集合”啦。

實際上，我們高中學(xué)習(xí)的“集合”，乃至大學(xué)“高等數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)分析”或者各種教材中涉及到的關(guān)于集合的知識，都被稱作“樸素集合論”，

原因在于，對集合的定義，我們采取了一種相對模糊的方式：“確定的，互不相同的對象組成的整體”。

為什么說這種定義是模糊的呢？

其中有一個原因就在于“確定的”這個形容詞該如何理解呢？這個形容詞是一個相對主觀的概念，如何界定一個事物的確定性呢？教材提供了一種思路，就是舉出了許多集合的例子,讓我們通過經(jīng)驗歸納什么是“集合”，什么是“確定性”——

a.老碧大學(xué)班里的所有男生是一個集合；

b.老碧認識的所有聰明人不是一個集合，因為聰明的評價標(biāo)準在日常交流中沒有量化，而如果按照心理學(xué)的定義，IQ120及以上為智力超常，然后以這個為“聰明”的定義，就又可以當(dāng)作一個集合了。

我們從中大概可以得出兩個結(jié)論：

a.滿足某種特定性質(zhì)的所有對象的全體構(gòu)成一個集合；

b.這些性質(zhì)的所指會很明確，一旦給出，唯一的集合也便隨之確定。

所以這里的“確定的”就起碼對應(yīng)包含兩重意味：

a.性質(zhì)的確定性，一般是精確的限制范圍，大多是數(shù)字——精確性；

b.所指的確定性，在這個范圍內(nèi)不會得出兩個不同的集合——消歧義性。

看起來，我們歸納的這個集合的定義已經(jīng)很完美了。十九世紀之前的數(shù)學(xué)研究者也這么覺得，直到有一天，有個叫羅素的“搗蛋鬼”，講了一個理發(fā)師的故事：

“某理發(fā)師巨愛裝逼，然后在自己的廣告中寫到：‘我給并且只給所有不給自己刮胡子的人刮胡子’，親愛的，你覺得他給不給自己刮胡子呢？”

我們首先來看這個命題，“我給并且只給所有不給自己刮胡子的人刮胡子”，相當(dāng)于把人以下兩種情況：

a.給自己刮胡子的人—理發(fā)師不刮；

b.不給自己刮胡子的人—理發(fā)師刮。

那么假如理發(fā)師給自己刮胡子，他歸為a類，理發(fā)師不應(yīng)該刮才對；假如理發(fā)師不給自己刮胡子，他歸為b類，理發(fā)師又應(yīng)該刮才對。

于是無論給自己刮胡子，還是不給自己刮胡子，這個理發(fā)師是“裝逼怪”本怪無疑了！

也就是說，如果我們把所有由理發(fā)師刮胡子的人構(gòu)成一個集合，那么按照理發(fā)師給出的條件，他在不在這個集合里呢？

更抽象的說法：如果我們把所有不屬于自己的集合構(gòu)成一個集合族（集合族即以集合作為元素的集合），記為A，那么這個集合族A是不是它自己的元素呢？如果是，則它不應(yīng)該屬于自己，如果不是，那它應(yīng)該又應(yīng)該屬于自己才對。

（可憐的A，兩邊不受待見?。?/p>

于是，寶貝們，發(fā)現(xiàn)問題了嗎？
還記得我們之前說過，在數(shù)學(xué)中，默認“排中律”是對的嗎？也就是說，給定一個集合，任何一個對象要么屬于它，要么不屬于它。而我們實數(shù)理論是在“排中律”的基礎(chǔ)上建立的?！凑辗诸惖姆绞浇ㄔO(shè)了“無理數(shù)”的定義。

然而在這個悖論中，成功構(gòu)造了一個集合，使得有一個元素，既不可能屬于也不可能不屬于這個給出的集合。

所以在“樸素集合論”的理論基石里，“排中律”坍塌了，兩千多年才建立的實數(shù)理論就從根基上荒謬了。

數(shù)學(xué)家是智慧的，既然后期發(fā)展的所有理論邏輯嚴密，而“集合”的定義主觀模糊（術(shù)語叫做“非形式化”），那么肯定是這個“集合”的定義出問題了。

由此，數(shù)學(xué)家們發(fā)揮聰明才智，重新嚴格定義“集合”，產(chǎn)生了一系列關(guān)于“公理化集合論”的理論體系，而這中間最著名的，莫過于“策爾梅洛選擇公理”。這個內(nèi)容也構(gòu)成了《實變函數(shù)》的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。

感興趣的小伙伴，可以去去看周民強老師的《實變函數(shù)論》，或者王聲望老師的《實變函數(shù)和泛函分析概要》，或者那湯松的《實變函數(shù)論》，上面有詳細地介紹。因為篇幅過長，老碧在這里就不詳細贅述了。

至此，數(shù)學(xué)的理論體系暫時沒什么明顯的“大婁子”了，雖然“選擇公理”的邏輯是否足夠嚴整學(xué)界依然存疑，但是在下一個“搗蛋鬼”出現(xiàn)之前，我們就先接受它唄。當(dāng)然，如果你想看看能不能引起“第四次數(shù)學(xué)危機”，也是可以的，老碧永遠在精神上支持你哦！