昨天我們介紹了，正實(shí)數(shù)a的整數(shù)n次根的算術(shù)值的存在唯一性，即，正實(shí)數(shù)a的1/n次冪的存在唯一性，進(jìn)而導(dǎo)出了，正實(shí)數(shù)a的有理數(shù)m/n次冪的存在唯一性。

而假如所求次數(shù)為無理數(shù)，我們可以用逼近的形式去求解所求根。

今天我們就來介紹，正實(shí)數(shù)a的任意實(shí)數(shù)次冪的存在性——

19以任意實(shí)數(shù)為指數(shù)的冪

書中先定義了任意大于1的正實(shí)數(shù)a的任意實(shí)數(shù)q次冪的定義——

定義依然用到了無限逼近下的相等的定義，提前劇透，其實(shí)就是極限思想的樸素表達(dá)法哦！

1. 我們已經(jīng)定義了正實(shí)數(shù)的有理數(shù)次冪，故而對任意正實(shí)數(shù)a>1，我們可以求它的任意有理數(shù)次冪；

2. 對于任意實(shí)數(shù)q，必然存在兩組有理數(shù)從兩個(gè)方向無窮逼近它——對任意小正數(shù)*，存在有理數(shù)b和b‘使得，b'-b<*，b<q<b'；

3. 則對于實(shí)數(shù)g，滿足對于任意的/所有的b和b’，滿足a^b<g<a^b'，則g為所求a的q次冪，記作a^q。

接著書上就開始驗(yàn)證a^q的存在唯一性，分兩步——

1.存在性

這里用到了我們之前提到的工具“確界原理”——數(shù)集有上界，必有上確界——同樣，因?yàn)椤按_界原理”是從實(shí)數(shù)的“有理數(shù)分劃”定義導(dǎo)出的，也可以用“有理數(shù)分劃”的方法來證明：

1. 我們將所有a^b組成一個(gè)集合{a^b}，所有a^b'組成一個(gè)集合｛a^b'｝；

2. 顯然，對于｛a^b｝里的所有元素都滿足，小于｛a^b'｝中任何一個(gè)元素，所以｛a^b｝有上界；

3. 由確界原理，｛a^b｝必有上確界，我們記為g；

4. 由上確界定義，顯然，對于任意的a^b和a^b'滿足a^b<=g<=a^b'，

5. 因?yàn)閎與b‘的取法——對于任意b0<q，總存在b，滿足b0<b<q，同理對于任意b0'>q，總存在b'，b0'>b'>q，故而4中不等式等號總不能成立；

6. 于是a^b<g<a^b'，g滿足定義條件。

故存在實(shí)數(shù)，滿足大于1的正實(shí)數(shù)a的任意實(shí)數(shù)q次冪的定義。

2.唯一性

又用到了我們之前提到的那個(gè)精致的小命題——“無限逼近意義下的等于”——

相同的思想即可證明，s，s'，e是任意實(shí)數(shù)，上述命題依然成立。

接著就介紹了我們曾經(jīng)提過的，在《數(shù)學(xué)分析》課程中很有用的伯努利不等式——

書上用到的是指數(shù)為自然數(shù)的情況——

如果n是大于1的自然數(shù)，如果m>1，那么——m^n>1+n（m-1）。

證明用到了牛頓二項(xiàng)式展開——

1. 因?yàn)閙>1，所以m-1=l>0，m=1+l；

2. m^n=（1+l）^n=1+nl+……；

3. 省略各項(xiàng)均為正數(shù)，所以m^n-[1+n（m-1）]=……>0，即m^n>1+n（m-1）。

即所求不等式成立，這個(gè)不等式可以推廣到指數(shù)為實(shí)數(shù)的范圍，包括牛頓二項(xiàng)式展開也是，以后有機(jī)會(huì)我們會(huì)談到，這里先記住這個(gè)很好用的不等式，之后我們還會(huì)一再用到。

下面證明唯一性——

1. 要證明僅有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足正實(shí)數(shù)a的q次冪的條件，等價(jià)于證明對于無限逼近q的有理數(shù)組b<q<b'，其中對于任意小正數(shù)*，b'-b<*，位于所有的a^b和a^b'之間的實(shí)數(shù)是唯一的；

2. 等價(jià)于去證對于任意小整數(shù)e>0，存在b和b'，滿足a^b'-a^b<e；

3. 由于a^b'-a^b=a^b[a^(b'-b)-1]<a^b（a^*-1）；

4. 我們令m^n=a，則m=a^（1/n），其中a>1；

5. 由伯努利不等式，m^n>1+n（m-1），即a>1+n[a^（1/n）-1]，即a^（1/n）-1<（a-1）/n；

6. 我們用1/n代替3中的*，由5可得，a^b'-a^b<a^b[a^(1/n)-1]<a^b[（a-1）/n]=[a^b（a-1）]/n；

7. 對于任意的b0'，總存在b和b'滿足，b<q<b'<b0'，對于任意的N，總存在n>N，即1/n<1/N；

8. 取定b0'，對于任意小正數(shù)e，我們只需要令n>a^b0'[（a-1）/e]，即有a^b'-a^b<[a^b（a-1）]/n<[a^b0'（a-1）]/[a^b0'[（a-1）/e]=e，所以位于所有的a^b和a^b'之間的實(shí)數(shù)是唯一的。

唯一性得證。

說明：

1.第8步顯然是讓分母取更小的數(shù)，分子取更大的數(shù)，所以小于號成立；

2.對于類似的證明看起來比較復(fù)雜，最好的辦法是先背下來，以后再慢慢理解；

3.當(dāng)然證明方法，放縮方法不止這一種，這樣子做題其實(shí)更大的目的僅僅是為了介紹伯努利不等式這個(gè)工具，在《數(shù)學(xué)分析》課本上經(jīng)常見到比較復(fù)雜的證明，其實(shí)僅僅是為了更早地引入一個(gè)更普適常用的方法罷了。

最后介紹了，實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)次冪的運(yùn)算律和序。

今天就聊到這里，明天繼續(xù)！