經(jīng)典填坑行為。填一波不等式的坑。

這次要聊的不是具體的不等式而是一種證明方法。

1.核心定理

證明方法最核心的就是下面的一個(gè)定理：

對(duì)于的n元函數(shù)，

如果滿足以下兩個(gè)條件：

(1)若

則

(2)，

都有

則，

都有

好，是不是看蒙了？

別急，慢慢來(lái)。

這個(gè)定理告訴了我們一種證明

當(dāng)自變量都≥0時(shí)，n元函數(shù)的函數(shù)值≥0

的方法。

它的第一個(gè)條件是該不等式對(duì)自變量等于0成立。這個(gè)有點(diǎn)類(lèi)似于必要性探路了。

第二個(gè)條件才是我們重點(diǎn)要驗(yàn)證的。

在《不等式的秘密》里，它稱一個(gè)n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和

為n元函數(shù)f的全導(dǎo)數(shù)，記作[f]。

這個(gè)定義吧。。是一個(gè)合理的定義。但是它使用的名稱另外感覺(jué)。。。怎么說(shuō)呢。

全導(dǎo)數(shù)這個(gè)名稱應(yīng)該是已經(jīng)被占用了（咱也說(shuō)不清到底誰(shuí)先的）。

一般我們的全導(dǎo)數(shù)指的是：

對(duì)于的n元函數(shù)，

其中都是關(guān)于x的一元函數(shù)，

這樣的一個(gè)函數(shù)f實(shí)際上可以看做是關(guān)于x的一元函數(shù)，其對(duì)x的導(dǎo)數(shù)被稱為全導(dǎo)數(shù)，記作。

在求法上我們有多元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t：

對(duì)于常見(jiàn)的全導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)也就是

顯然，這兩個(gè)全導(dǎo)數(shù)的定義并不一致。

所以在這篇專(zhuān)欄，我會(huì)稱[f]為偏導(dǎo)數(shù)之和。

2.定理證明

這個(gè)定理看起來(lái)復(fù)雜但是它證明起來(lái)非常簡(jiǎn)單。

這個(gè)定理用起來(lái)也非常簡(jiǎn)單。(這個(gè)等下再說(shuō))

我們記

顯然k作為中最小的值必定會(huì)等于某個(gè)自變量，我們?cè)O(shè)為。

構(gòu)造函數(shù)關(guān)于t的一元函數(shù)

在這里我們把都看做了參數(shù)。

那么根據(jù)前面說(shuō)的一般的全導(dǎo)數(shù)求法

而已知條件告訴我們[f]≥0

這樣的話g(t)就是單調(diào)遞增的函數(shù)了。

于是

這樣的話你看，根據(jù)第一個(gè)條件(現(xiàn)在有一個(gè)自變量是0哦)，g(0)≥0。

因此對(duì)t≥0恒成立。

那么當(dāng)時(shí)就是

證畢。

3.定理應(yīng)用

在這個(gè)部分，因?yàn)槎际桥e的經(jīng)典的不等式的例子，所以第一個(gè)條件作為不等式的特殊情況咱就不驗(yàn)證了。

下面的不等式又是輪換對(duì)稱的，所以你如果真的要驗(yàn)證第一個(gè)條件的話，只需要驗(yàn)證某一個(gè)自變量即可。

而這些不等式要么都是平方要么都是當(dāng)某一個(gè)自變量是負(fù)數(shù)的時(shí)候很顯然，所以他們雖然都對(duì)全體實(shí)數(shù)成立但只需要證明正數(shù)成立即可。

1.重要不等式

而[f]=0恒成立。

證畢。

2.排序不等式的特例

你可以用這個(gè)方法推廣到n元。

而[f]=0恒成立

證畢。

這個(gè)不等式其實(shí)是在說(shuō)次數(shù)集中的≥次數(shù)分散的。

emm這倆都是標(biāo)準(zhǔn)的[f]=0。下面來(lái)個(gè)[f]≥0的。

3.舒爾不等式

你也知道該怎么處理了吧。

然后你會(huì)發(fā)現(xiàn)

這個(gè)就是前面說(shuō)的排序不等式的特例了。

但是它的話，當(dāng)c=0的時(shí)候不等式成立也沒(méi)有那么顯然。

然后，誒嘿這里也是次數(shù)集中的≥次數(shù)分散的。

你不知道沒(méi)事，繼續(xù)求偏導(dǎo)和，那么你會(huì)得到前面說(shuō)的重要不等式。

你可以試試用其他方法證明。

因?yàn)檫@個(gè)不等式精確度比較高，所以其實(shí)其他方法困難度會(huì)比這個(gè)高一些。

還有一些經(jīng)典不等式例如柯西不等式等也可以用這個(gè)方法證明，這個(gè)就不用多說(shuō)了。畢竟這個(gè)方法本身就足夠簡(jiǎn)單了。