S8G4 費(fèi)氏數(shù)列與黃金矩形 (Geogebra)
最近與學(xué)生討論到二次方程時(shí)，遇到了 x^2=x+1 的方程，同時(shí)與學(xué)生科普了黃金矩形的相關(guān)知識(shí)，這時(shí)也與學(xué)生推薦一個(gè) youtube 上有一個(gè)關(guān)于黃金比例的視頻，可點(diǎn)選以下搬運(yùn)到?bili 上的視頻 https://www.bilibili.com/video/BV1iE411d72h。后來(lái)我也嘗試想用 Geogebra 來(lái)模擬開頭的黃金矩形的動(dòng)畫，便將這作為這次的專案。
任務(wù)一：用表格區(qū)探究費(fèi)氏數(shù)列
說(shuō)明：這節(jié)主要利用表格區(qū)來(lái)計(jì)算費(fèi)氏數(shù)列 F(n)，對(duì)于類似?F(n)?= F(n-1) + F(n-2) 這類遞回關(guān)系，可在表格區(qū)輸入一格后，將公式復(fù)制到其他格就可自動(dòng)完成計(jì)算。
操作：
A1 = 1
A2 = A1+1?
# 將A2的公式復(fù)制到 A3 到 A 20
B1= 1
B2 = 1
B3 = B2 + B1?
#?將 B3 的公式復(fù)制到 B3 到 B20
C2 = 1
C3 =?B2 /?B1?
#?將 C3?的公式復(fù)制到 C3 到 C20
任務(wù)二：用表格區(qū)繪制正方形
說(shuō)明：這節(jié)主要展示在表格區(qū)也可建立點(diǎn)與正多邊形。當(dāng)物件有些規(guī)律時(shí)，用表格區(qū)來(lái)記錄變數(shù)會(huì)方便多個(gè)幾何物件的管理。再觀察規(guī)律后，下一節(jié)將用公式拖拉來(lái)一鍵生成這些物件。
操作：
D1 = (0,1)
E1 = (0,0)
F1 = Polygon(D1,E1,4)
D2 = (0,1)
E2 = (1,1)
F2 = Polygon(D2,E2,4)
# 接著先先手動(dòng)輸入幾個(gè)正方形一邊的兩點(diǎn)坐標(biāo)，方便下一節(jié)作觀察。
任務(wù)三：分析正方形頂點(diǎn)的規(guī)律
說(shuō)明：這節(jié)主要分析正方形頂點(diǎn)的規(guī)律，先觀察到 E2=D2?+ (1,0), E3=D3+(0,2), E4=D4+(-3,0), E5=D5+(0,-5) 。??其兩點(diǎn)坐標(biāo)相差的距離正好為費(fèi)氏數(shù)列。而方向依序?yàn)?x 正向，y?正向，x 負(fù)向，y 負(fù)向。正好可以用旋轉(zhuǎn)來(lái)表示。因此， E2= D2 + Rotate((B2,0), 90deg*(A2+2))。
再觀察 ?D4=D3?+?(1,0),?D5=D4+(0,2), D6=D5+(-3,0),?D7=D6+(0,-5) 。其兩點(diǎn)坐標(biāo)相差的距離也為費(fèi)氏數(shù)列。而方向依序?yàn)?x?正向，y?正向，x 負(fù)向，y 負(fù)向。也可以用旋轉(zhuǎn)來(lái)表示。因此， D4= D3?+ Rotate((B2,0), 90deg*(A4))。接著再將公式復(fù)制到 D, E 欄即可。
操作：
D4= D3?+ Rotate((B2,0), 90deg*(A4))
E2= D2 + Rotate((B2,0), 90deg*(A2+2))
# 將 D,E,F 欄的公式往下復(fù)制即可得到所有的點(diǎn)。
任務(wù)四：利用圓弧指令生成螺線
說(shuō)明：要繪制螺線主要利用圓弧指令，需要指定圓心與圓弧上的兩個(gè)端點(diǎn)。以第一個(gè)圓弧為例，圓心 D1=(0,1) ,圓弧上的兩端點(diǎn)為 E1=(0,0) 、?(1,1)。其中，(1,1) 可用 M1=Rotate(E1,90deg,D1) 來(lái)得到。接著再利用圓弧 N1=CircularArc(D1,E1,M1) 就可得到圓弧。再將公式復(fù)制到 M, N 欄就可得到其他的圓弧。
操作：
M1=Rotate(E1,90deg,D1)
N1 = CircularArc(D1,E1,M1)
任務(wù)五：用滑動(dòng)條控制視窗的縮放
說(shuō)明：為了讓視窗自動(dòng)的調(diào)整大小，先建立滑動(dòng)條，并將滑動(dòng)條增加腳本 ZoomIn，?使得滑動(dòng)條改變時(shí)，視窗畫面也同步改變。并且將正方形設(shè)定條件顯示，讓正方形也會(huì)隨著滑動(dòng)條數(shù)值變化依次出現(xiàn)。
操作：
t = Slider(1,18,0.1,1,100)
phi = (1+5^0.5)/2? ? ? #1.618
# 在滑動(dòng)條輸入以下腳本
ZoomIn(-phi^(t),-phi^(t-1),phi^(t),phi^(t-1))
# 在 F 欄中加入條件顯示，讓正方形可以隨著滑動(dòng)條出現(xiàn)
任務(wù)六：動(dòng)態(tài)上色
說(shuō)明：利用進(jìn)階的動(dòng)態(tài)顏色的 HSV 的色調(diào)，讓每個(gè)正方形的色調(diào)隨著其編號(hào)改變而改變其顏色色調(diào)來(lái)達(dá)到每個(gè)正方形不同顏色的效果。
操作：
小結(jié)與回顧
這次主要利用表格區(qū)來(lái)制作費(fèi)氏數(shù)列與黃金矩形，并利用滑動(dòng)條來(lái)控制視窗的自動(dòng)縮放。
相關(guān)鏈接
【GGB】https://www.geogebra.org/m/qwvakjrr
【Bili】https://www.bilibili.com/video/bv1t5411n7eJ
【公眾號(hào)文】https://mp.weixin.qq.com/s/7OhwEvrMjKLDZoySIxIfgQ
【youtube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JRzFEEC5rkkBL6WtCUHR9N
