對于動量對應(yīng)的湮滅算符，假設(shè)真空態(tài)滿足：

歸一化為：

把哈密頓算符作用到真空態(tài)上，得到：

可見，真空態(tài)的能量本征值是零點(diǎn)能真空態(tài)是能量最低的態(tài)。把動量算符作用在真空態(tài)上：

因此真空態(tài)不具有動量。

定義動量為的單粒子態(tài)為：

是歸一化因子。用哈密頓算符作用得到：

用動量算符作用得到：

可見，相比于真空態(tài)，單粒子態(tài)增加了能量與動量，兩者滿足質(zhì)殼條件，因此，該單粒子態(tài)描述一個動量為的粒子，實(shí)標(biāo)量場的質(zhì)量即為該粒子的質(zhì)量。

把湮滅算符作用在上面得到：

當(dāng)時，沒有可以讓湮滅算符去湮滅的粒子，結(jié)果為零。當(dāng)時，作用得到真空態(tài)?？梢?，湮滅算符的作用是湮滅掉（減少）一個動量為的粒子。

兩個單粒子態(tài)的內(nèi)積為：

這是個洛倫茲不變量。

之前提到過，標(biāo)量場是算符，把標(biāo)量場算符作用在真空態(tài)上得到：

它與單粒子態(tài)的內(nèi)積為：

回顧量子力學(xué)，動量本征態(tài)與坐標(biāo)本征態(tài)的內(nèi)積為：

這兩個內(nèi)積的形式類似。因此可視為單粒子位置本征態(tài)，場算符的作用是在這個時空點(diǎn)處產(chǎn)生一個粒子。

定義動量分別為的個粒子的多粒子態(tài)為：

將哈密頓算符作用于其上，得到：

同理，動量算符作用給出：

多粒子態(tài)的能量動量本征值由各粒子疊加貢獻(xiàn)。

由于產(chǎn)生算符相互對易，因此可以得到：

對調(diào)多粒子態(tài)的任意兩個粒子，得到的態(tài)相同，說明實(shí)標(biāo)量場描述的粒子是玻色子，稱為標(biāo)量玻色子，遵循玻色-愛因斯坦統(tǒng)計。

雙粒子態(tài)的內(nèi)積為：

定義動量均為的個粒子的多粒子態(tài)：

則粒子數(shù)密度算符對它的作用為：

在動量空間對粒子數(shù)密度算符進(jìn)行積分，可得到粒子數(shù)算符：

把它作用在動量均為的個粒子的多粒子態(tài)上，得到：

因此，是粒子數(shù)算符的本征態(tài)，本征值為粒子數(shù)

更一般地，定義動量為的粒子分別有個的多粒子態(tài)為：

用粒子數(shù)算符作用于其上，得到：

可見，粒子數(shù)算符確實(shí)可以描述粒子總數(shù)。