有兩類重要的基本分式，它們的積分公式在《老黃學(xué)高數(shù)》系列學(xué)習(xí)視頻第292講中，老黃已經(jīng)證明或推導(dǎo)了。這里老黃要推導(dǎo)的是其中第二類基本分式的遞推公式。所謂第二類基本分式，就是分母為二次多項(xiàng)式的冪，分子是一次多項(xiàng)式的分式。它的最終公式可以用來解決正整數(shù)冪的問題，而遞推公式則為求正實(shí)數(shù)冪的問題提供某種可能。

要推導(dǎo)第二類基本分式的積分遞推公式，就要先推導(dǎo)其一個(gè)特殊形式的積分遞推公式。這個(gè)形式的被積函數(shù)是1/(r^2+t^2)^n，(n>0且n≠1).?積分變量是r.?

探究1：In=∫dr/(r^2+t^2)^n (n>0且n≠1)的遞推公式.

因?yàn)榈诙惢痉质?Bx+M)/(x^2+px+q)^n，可以被分拆成兩個(gè)部分，其中有一個(gè)部分是Br/(r^2+t^2)^n，另一個(gè)部分就是N/(r^2+t^2)^n.

即(Bx+M)/(x^2+px+q)^n=Br/(r^2+t^2)^n+N/(r^2+t^2)^n.?

其中，r=x+p/2, t=√(4q-p^2 )/2, N=M-p/2B.

這些在《老黃學(xué)高數(shù)》第292講中都有介紹。其中前一部分的分式積分易求，后一部分的積分公式，也在視頻中已經(jīng)推導(dǎo)出來了。這里要繼續(xù)推導(dǎo)的是后一部分的積分推導(dǎo)公式，如下圖：

在整數(shù)冪的范圍內(nèi)，這個(gè)遞推公式只能直接求得分母二次冪時(shí)的不定積分類型。

例1：求∫dx/(x^2+4)^2 .

有了這部分的遞推公式，就可以推導(dǎo)第二類基本分式的積分遞推公式了。不過那也不是手到擒來的事情，仍然需要進(jìn)行比較大幅度的計(jì)算。

探究2：In=∫(Bx+M)/(x^2+px+q)^ndx (n>0且n≠1)的遞推公式.

如上圖，最后還給出了分母二次冪的特殊公式形式。在整數(shù)冪的范圍內(nèi)，這個(gè)遞推公式也只能用來直接求分母二次冪這種類型的不定積分。

例2：求∫(2x+5)/(x^2+3x+3)^2 dx.

除了上面推導(dǎo)的這兩個(gè)遞推公式。還有另外一個(gè)形式的分式非常常見。它是探究1的分式分母底數(shù)中的和，改成差的形式。

探究3：In=∫dx/(x^2-a^2)^n (n>0且n≠1)的遞推公式.

這個(gè)遞推公式至少有三種推導(dǎo)辦法。這里提供一種與探究1相關(guān)的，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的推導(dǎo)方法，是最簡便的方法。只要將-a^2看作(ai)^2，它就轉(zhuǎn)化成探究1的類型，可以直接得到遞推公式的結(jié)果。

同樣，可以用它來直接求分母二次冪的特殊形式不定積分：

例3：求∫dx/(x^2-1)^2 .

有了遞推公式，我們就可以推導(dǎo)出它的正整數(shù)冪公式的最終形態(tài)：

探究4：In=∫dx/(x^2-a^2)^n (n>1)的公式.

比如求下面這個(gè)不定積分，運(yùn)用這個(gè)公式，就非常簡單了。

例4：求∫dx/(x^2-3)^4 .

老黃還計(jì)劃在下一篇作品中，給大家分享各個(gè)公式互推的其它方式，看看會(huì)不會(huì)得到公式的不同形態(tài)。由于公式實(shí)在太復(fù)雜，數(shù)據(jù)又特別繁瑣。很難保證中間不出現(xiàn)一點(diǎn)失誤，因此請小伙伴們批判著閱讀。老黃在這里先行謝過你給老黃找出過程中的錯(cuò)漏了。