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梯度方向到底是哪個(gè)方向的圖解證明

2022-03-29 21:22 作者:我愛計(jì)算機(jī)科學(xué)  | 我要投稿

關(guān)于方向?qū)?shù)和梯度,一般教材都是如下推導(dǎo)的:

圖1
圖2

上述推導(dǎo)中,好像只是證明了梯度方向是存在的,但卻并沒有指出梯度方向到底是哪個(gè)方向。

圖3

參考圖3,在空間曲面

上截取一條空間曲線,現(xiàn)在來討論這條空間曲線的梯度方向。

圖4

在圖3的基礎(chǔ)上,通過空間曲線 f 作一個(gè)投影平面X,垂直于水平平面Y,得到一條交線OL。

下面證明空間曲線 f 的梯度方向就是OL的方向。

以op代替一小段曲線 f,曲線 f 與op都在投影平面X內(nèi),作

由于

表示的就是曲線 f 在垂直于水平平面Y這個(gè)方向上的高度變化,所以它就等于pr,則

再在圖4的Y平面上任意作一條直線om,代表其它的方向向量,再作

由于oq>or,所以

這就證明了OL方向就是梯度方向。至于為什么要讓

從圖4可以清晰地看出這種關(guān)系:在Y平面上,oL是向量om的一個(gè)分量。

圖4中oL與om之間的夾角,就是圖2中梯度方向與其它方向直線之間的夾角


梯度方向到底是哪個(gè)方向的圖解證明的評(píng)論 (共 條)

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