淺談引力場(chǎng)能動(dòng)贗張

2022-12-13 00:52 作者:Schlichting 0人讀過(guò) | 我要投稿

由于最近身體不是很好，沒(méi)精力做視頻，所以先把朗道《二卷》中“能動(dòng)贗張量”這個(gè)比較重要的東西說(shuō)一下。具體內(nèi)容還是放在引力場(chǎng)分析視頻內(nèi)講。

一、能動(dòng)贗張量的由來(lái)

1.電磁場(chǎng)系統(tǒng)的能動(dòng)守恒律

為了說(shuō)清楚引力場(chǎng)能動(dòng)贗張量，首先我們要回到電磁場(chǎng)系統(tǒng)的能量-動(dòng)量-密度張量的守恒上。在《通用電磁場(chǎng)分析》中的《電磁場(chǎng)系統(tǒng)的能動(dòng)密度張量》這一期中，我們了解到，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)而言，其能動(dòng)密度張量的守恒是對(duì)于兩者而言的，即場(chǎng)的能動(dòng)密度張量和粒子的能動(dòng)密度張量之和守恒，具體的數(shù)學(xué)形式為： $%5Cpartial_%7B%5Cnu%7DT%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D(T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%7B%7D_%7B(p)%7D%2BT%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%7B%7D_%7B(f)%7D)%3D0$ ，其中下角標(biāo)p和f分別代表了粒子和場(chǎng)的能動(dòng)密度張量。具體證明過(guò)程請(qǐng)參考視頻。

可以看到，守恒律是以和的形式呈現(xiàn)的，系統(tǒng)中單獨(dú)的能動(dòng)密度張量其實(shí)并不守恒，即不滿(mǎn)足守恒方程，而這正是愛(ài)因斯坦引力場(chǎng)方程的一個(gè)缺陷。

2.引力場(chǎng)方程的一個(gè)缺陷

對(duì)于引力場(chǎng)方程的推導(dǎo)這里就不再過(guò)多的贅述了，其不含宇宙學(xué)常數(shù)的形式為：

$G%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DRg%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B8%7B%5Cpi%7DG%7D%7Bc%5E4%7DT%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D$ ，其中等式左側(cè)稱(chēng)為愛(ài)因斯坦張量，代表了引力場(chǎng)的時(shí)空曲率特性；等式右側(cè)是物體的能動(dòng)密度張量，一般采用的是宏觀物體的表達(dá)式 $T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%7B%5Crho%7Dc%20u%5E%7B%5Cmu%7Du%5E%7B%5Cnu%7Dds%2Fdt$ ，其中 $u%5E%7B%5Cnu%7D$ 為四維速度。

同時(shí)，容易證明，場(chǎng)方程自動(dòng)滿(mǎn)足條件 $%5Cnabla_%7B%5Cnu%7DG%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cnabla_%7B%5Cnu%7DT%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0$ ，即等式符合“引力場(chǎng)系統(tǒng)下物質(zhì)的守恒律”。

但是，結(jié)合電磁場(chǎng)系統(tǒng)的結(jié)論可知，此處的能動(dòng)密度張量其實(shí)并不滿(mǎn)足引力場(chǎng)系統(tǒng)守恒律，因?yàn)樗话肆Ｗ拥牟糠?，而引力?chǎng)自身的部分是缺失的，所以其實(shí)場(chǎng)方程并不能表示任何守恒律。所以，為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們需要對(duì)引力場(chǎng)部分做單獨(dú)的分析。

二、引力場(chǎng)能動(dòng)贗張量

引力場(chǎng)的能動(dòng)贗張量有兩種形式，一種是不對(duì)稱(chēng)的混和形式，稱(chēng)為愛(ài)因斯坦-狄拉克能動(dòng)贗張量；一種是對(duì)稱(chēng)的純逆變形式，稱(chēng)為朗道-利弗席茲能動(dòng)贗張量。接下來(lái)我們就一一敘述。

1.愛(ài)因斯坦-狄拉克能動(dòng)贗張量

其實(shí)，愛(ài)因斯坦自己早已發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題。在1918年，也就是場(chǎng)方程發(fā)表的3年后，愛(ài)因斯坦就寫(xiě)了一篇《關(guān)于廣義相對(duì)論中的能量守恒定律》，愛(ài)因斯坦在里面提出了一個(gè)能動(dòng)贗張量來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題，隨后由保羅-狄拉克證明了其符合系統(tǒng)的守恒律。

為了推導(dǎo)愛(ài)因斯坦能動(dòng)贗張量，首先我們回到能動(dòng)密度張量的普遍形式。在狹義相對(duì)論下，對(duì)于閔可夫斯基四維時(shí)空，場(chǎng)的作用量為 $S_f%3D%5Cint%20%5CLambda%20dVdt$ ，其中 $%5CLambda%20$ 代表了場(chǎng)的拉格朗日量密度。相對(duì)應(yīng)的，對(duì)于場(chǎng)的任何一個(gè)量 $q$ ，我們能給出對(duì)應(yīng)的能動(dòng)密度張量為：

$T%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%7B%5Cmu%7D(f)%7D%3D%5Csum%20%5Cpartial_%7B%5Cmu%7Dq%5E%7B(l)%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7B%5CLambda%7D%7D%7B%5Cpartial(%7B%5Cpartial_%7B%5Cnu%7Dq%5E%7B(l)%7D)%7D%7D-%5Cdelta%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%5Cmu%7D%7B%5CLambda%7D$ ，其中對(duì)場(chǎng)的 $l$ 個(gè) $q$ 求和。

回到引力場(chǎng)系統(tǒng)，由微分幾何可知，引力場(chǎng)的作用量應(yīng)為 $S_f%3D%5Cint%20%5CLambda%20%5Csqrt%7B-g%7D%20dVdt$ ，其中 $%5CLambda%20%5Csqrt%7B-g%7D$ 代表了引力場(chǎng)的拉格朗日量密度。相對(duì)應(yīng)的，對(duì)于引力場(chǎng)而言，其主要的量 $q$ 即為度規(guī)張量 $g%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D$ ，則我們能給出對(duì)應(yīng)的能動(dòng)密度張量為：

$T%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%7B%5Cmu%7D(f)%7D%3D%5Csum%20%5Cpartial_%7B%5Cmu%7Dg%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20(%5CLambda%20%5Csqrt%7B-g%7D)%7D%7B%5Cpartial(%7B%5Cpartial_%7B%5Cnu%7Dg%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D)%7D%7D-%5Cdelta%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%5Cmu%7D(%5CLambda%20%5Csqrt%7B-g%7D)$ ，求和對(duì)于度規(guī)張量的分量而言。同時(shí)，對(duì)于引力場(chǎng)，其拉格朗日量密度為 $%5CLambda%20%3D-%5Cfrac%7Bc%5E4%7D%7B16%7B%5Cpi%7DG%7DM%EF%BC%8CM%3Dg%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D(%5CGamma%5Ei_%7B%7B%5Cmu%7Dj%7D%5CGamma%5Ej_%7B%7B%5Cnu%7Di%7D-%5CGamma%5Ei_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%5CGamma%5Ej_%7Bij%7D)$ ， $M$ 為Ricci張量的非線性部分的標(biāo)量。

全部帶入，我們便可以得到愛(ài)因斯坦-狄拉克能動(dòng)贗張量：

$t%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%7B%5Cmu%7DED%7D%3D%5Cfrac%7Bc%5E4%7D%7B16%7B%5Cpi%7DG%7D%5B(M%5Csqrt%7B-g%7D%5Cdelta%5E%7B%5Cnu%7D_%7B%5Cmu%7D)%2B%5CGamma%5E%7B%5Cnu%7D_%7Bij%7D(%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D(g%5E%7Bij%7D%20%5Csqrt%7B-g%7D))-%5CGamma%5Ei_%7Bij%7D(%5Cpartial_%7B%5Cmu%7D(g%5E%7B%7B%5Cnu%7Dj%7D%20%5Csqrt%7B-g%7D))%5D$

容易看到，這個(gè)量包含了大量的一階聯(lián)絡(luò)系數(shù) $%5CGamma%5Ei_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D$ ，因此是一個(gè)贗張量。具體的系統(tǒng)守恒律我會(huì)在視頻中詳細(xì)證明，大家也可以自己試一下。

愛(ài)因斯坦-狄拉克能動(dòng)贗張量的推導(dǎo)不需要非常多的思考，只需要從能動(dòng)張量的普遍形式出發(fā)，帶換掉拉格朗日量密度即可。但缺點(diǎn)也顯而易見(jiàn)：不對(duì)稱(chēng)，混合量。鑒于場(chǎng)方程優(yōu)美的形式，以及所要求的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，對(duì)稱(chēng)的純逆變量自然是更加好的。

2.朗道-利弗席茲能動(dòng)贗張量

基于上述原因，朗道和利弗席茲在1947年共同發(fā)表了基于場(chǎng)方程的能動(dòng)贗張量，這是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的，純逆變形式的贗張量。

值得注意的是，雖然在此之前我們能給出基于度規(guī)張量的對(duì)稱(chēng)的能動(dòng)密度張量 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B-g%7DT%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial(%5Csqrt%7B-g%7D%5CLambda)%7D%7B%5Cpartial%20g%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%7D-%5Cpartial_l%5Cfrac%7B%5Cpartial(%5Csqrt%7B-g%7D%5CLambda)%7D%7B%5Cpartial(%20%5Cpartial_l%20g%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D)%7D$ ，但不能把 $%5CLambda%20%3D-%5Cfrac%7Bc%5E4%7D%7B16%7B%5Cpi%7DG%7DM$ 直接帶入，因?yàn)榻Y(jié)果必然等于0。所以，我們需要另外一種方法來(lái)計(jì)算。

首先，我們考慮一個(gè)參考系，在這個(gè)參考系內(nèi) $%5CGamma%5Ei_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%3D0$ ，當(dāng)然度規(guī)張量 $g%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D$ 并不一定能化為閔氏度規(guī) $%7B%5Ceta%7D%5E%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%3Ddiag(-1%2C1%2C1%2C1)$ 的形式。這樣，針對(duì)場(chǎng)方程的守恒律就化為 $%5Cpartial_%7B%5Cnu%7DT%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0$ ，它的解通過(guò)“能動(dòng)密度張量的規(guī)范不變性”可以直接給出 $T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_lh%5E%7B%5Cmu%5Cnu%20l%7D$ ，其中
$h%5E%7B%5Cmu%5Cnu%20l%7D%3D-h%5E%7B%5Cmu%20l%5Cnu%20%7D$ 關(guān)于指標(biāo) $(%5Cnu%2C%20l)$ 是反對(duì)稱(chēng)的。

這樣的形式很好尋找，從場(chǎng)方程出發(fā)，代入 $%5CGamma%5Ei_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%3D0$ ，一通計(jì)算后便可以得出：
$T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_l%5B%5Cfrac%7Bc%5E4%7D%7B16%7B%5Cpi%7DG%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B(-g)%7D%5Cpartial_m%5B(-g)(g%5E%7B%7B%5Cmu%5Cnu%7D%7Dg%5E%7Blm%7D-g%5E%7B%7B%5Cmu%20l%7D%7Dg%5E%7B%7B%5Cnu%20m%7D%7D)%5D%5D$ ，明顯括號(hào)內(nèi)的式子對(duì)于指標(biāo) $(%5Cnu%2C%20l)$ 是反對(duì)稱(chēng)的，于是可以引入符號(hào)：

$%5Clambda%5E%7B%7B%5Cmu%5Cnu%20lm%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bc%5E4%7D%7B16%7B%5Cpi%7DG%7D(-g)(g%5E%7B%7B%5Cmu%5Cnu%7D%7Dg%5E%7Blm%7D-g%5E%7B%7B%5Cmu%20l%7D%7Dg%5E%7B%7B%5Cnu%20m%7D%7D)%2Ch%5E%7B%5Cmu%5Cnu%20l%7D%3D%5Cpartial_m%5Clambda%5E%7B%7B%5Cmu%5Cnu%20lm%7D%7D%3D-h%5E%7B%5Cmu%20l%20%5Cnu%20%7D$ ，

將因子 $%5Cfrac%7B1%7D%7B(-g)%7D$ 提出后（由于 $%5CGamma%5Ei_%7B%7B%5Cmu%7D%7B%5Cnu%7D%7D%3D0$ 因此行列式的值與微分無(wú)關(guān)）便可以得到 $(-g)T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D$ ，是為在 $%5Cpartial_l%20g%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0$ 時(shí)下的守恒律。

對(duì)于任意坐標(biāo)系，此等式不再有效，兩者的差一般不為0，此時(shí)我們將其記作

$%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D-(-g)T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D(-g)t%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D$ ?，于是有 $(-g)(T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%2Bt%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D)%3D%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D$ 。

明顯可見(jiàn)，由于 $%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D$ ?是對(duì)稱(chēng)的，因此 $t%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D$ ?也是對(duì)稱(chēng)的，同時(shí)指標(biāo) $(%5Cnu%2C%20l)$ 反對(duì)稱(chēng)的關(guān)系也能直接給出方程 $%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D%3D%5Cpartial_%7B%5Cnu%7D%5B(-g)(T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%2Bt%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D)%5D%3D0$ ，即系統(tǒng)能動(dòng)密度守恒。

由此，我們便可以給出朗道-利弗席茲能動(dòng)贗張量： $t%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D_%7BLL%7D$ ，它滿(mǎn)足關(guān)系 $%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D-(-g)T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D(-g)t%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D_%7BLL%7D$ 。從而我們修改場(chǎng)方程為：

$(-g)%5B%5Cfrac%7Bc%5E4%7D%7B8%7B%5Cpi%7DG%7D(R%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DRg%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D)%2Bt%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D_%7BLL%7D%5D%3D%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D$ 。

$t%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D_%7BLL%7D$ 的具體表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，這里就不給出了，以免大家產(chǎn)生心理負(fù)擔(dān)。但可以肯定的是，由于結(jié)果中的 $%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D$ ?是普通偏導(dǎo)數(shù)而不是協(xié)變導(dǎo)數(shù)，因此 $t%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D_%7BLL%7D$ 必然是贗張量。

三、總結(jié)

關(guān)于引力場(chǎng)自身的能動(dòng)張量，由于曲率的關(guān)系所以不太好求解，但也不能因此而忽視了這個(gè)內(nèi)容。通過(guò) $%5Cpartial_l%20h%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20l%7D-(-g)T%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D(-g)t%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D$ ?，我們便可以計(jì)算出四維動(dòng)量 $P%5E%7B%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Coint%20h%5E%7B%5Cmu%200%20%5Cnu%7Ddf_%7B%5Cnu%7D$ 和角動(dòng)量 $M%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%5Coint%20(x%5E%7B%5Cmu%7Dh%5E%7B%5Cnu%200%20l%7D-x%5E%7B%5Cnu%7Dh%5E%7B%5Cmu%200%20l%7D%2B%5Clambda%5E%7B%5Cmu%200%20l%20%5Cnu%7D)df_l$ ，

這個(gè)式子在之后計(jì)算旋轉(zhuǎn)引力場(chǎng)的賭度規(guī)混合分量時(shí)很有幫助。

當(dāng)然，這個(gè)量還能幫助我們了解更多的關(guān)于引力場(chǎng)及宇宙的相關(guān)信息，在加入宇宙學(xué)常數(shù)之后還會(huì)再改變，但它所蘊(yùn)含的物理學(xué)思想是不變的。

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淺談引力場(chǎng)能動(dòng)贗張

一、能動(dòng)贗張量的由來(lái)

二、引力場(chǎng)能動(dòng)贗張量

三、總結(jié)