已經(jīng)講了環(huán)和σ環(huán)這兩種集類，那么再引入一個單調(diào)類——對單調(diào)集合列的極限封閉，可以用單調(diào)類對σ環(huán)進行刻畫。首先容易發(fā)現(xiàn)σ環(huán)必須是單調(diào)類， 那么單調(diào)環(huán)是不是σ環(huán)呢，其實也是顯而易見的。所以一個重要的定理就是,這個定理告訴我們雖然對于任何集類,不存在,但是可以先取，就會有

要證明定理就要證明是一個環(huán)，因為單調(diào)環(huán)必然是σ環(huán)，所以是σ環(huán)，所以,反過來由于是單調(diào)類，因此。那么問題就是如何證明證明的困難性在于我們不知道如何描述的元素，所以需要想辦法把它變成另一個以具體方式定義的集類。取任意,考慮這個集合，

容易證明它是單調(diào)類，因此是包含的單調(diào)類，,這說明：

于是再考慮取任意,這時也會有,從而，這個簡單的證明過程告訴了我們