相信同學(xué)們都知道，圓的面積為πr2。也都知道，可以用逼近的思想，用內(nèi)接多邊形來得到這個答案。

但你知道具體是如何操作的嗎？本文就帶同學(xué)們來推導(dǎo)一下。

1 內(nèi)接等邊三角形

先從最簡單的內(nèi)接等邊三角形看起。

首先標(biāo)出圓心和三角形的三個頂點，并且連接它們。這樣就得到了大小相等的三個小三角形。

我們知道，兩邊及其夾角可以通過公式得到三角形的面積。

此時，假設(shè)圓的半徑為，則小三角形的兩條邊為，再加上圓心角為

很容易得到小三角形的面積為

則內(nèi)接等邊三角形的面積為

2 內(nèi)接等邊四邊形

看完了內(nèi)接等邊三角形，下面來看看內(nèi)接等邊四邊形。

還是一樣的標(biāo)出圓心和頂點，并且連接它們。這樣就得到了大小相等的四個小三角形。

此時圓心角為，則小三角形的面積為。

繼而得到內(nèi)接等邊四邊形的面積為

3 內(nèi)接等邊五邊形

再來看看內(nèi)接等邊五邊形。

還是一樣的標(biāo)出圓心和頂點，并且連接它們。這樣就得到了大小相等的五個小三角形。且因為圓心角為，所以內(nèi)接等邊五邊形的面積為

4 規(guī)律

算完了三個內(nèi)接多邊形的面積，下面來找找規(guī)律

將角度用弧度值來表示

寫成弧度值后，很容易看出，內(nèi)接多邊形的通項為

將帶入上式，可以得到下面這個圖

可以看到隨著不斷增大，內(nèi)接多邊形的面積不斷逼近，也就是其極限為

最后，我們來驗算一下

5 計算

令,則