????????對于反雙曲正切函數(shù)，我們有

????????同時，其泰勒展開式為

????????下面我們來證明其泰勒展開式

????????注意到

? ? ? ? 對相關(guān)內(nèi)容不清楚的可以看以下鏈接。

????????同時，牛頓二項式定理告訴我們，

? ? ? ? 在上式中，令

????????我們得到

? ? ? ? 對比我們所想要的形式，不妨再用去取代的位置，我們得到

????????即

????????然后兩邊同時積分，就得到

????????這是一種非常巧妙的證明方法，right？避開了反復(fù)的高階導(dǎo)數(shù)計算，用簡潔明了的牛頓二項式定理展開式證明了泰勒展開式。

????????同時，該級數(shù)分母也具有鮮明的特征——奇數(shù)串。

????????這也不禁讓人想到了的泰勒展開式，分母是——階乘串。