集合論習(xí)題

2023-03-13 13:49 作者:不太正經(jīng)的灰陶 0人讀過 | 我要投稿

? ? ? 得益于Cantor連續(xù)統(tǒng)假設(shè)命題（ $%5B0%2C1%5D$ ），以下這樣一個論斷是十分平凡的：

? ? ? ?? $%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_i%E5%8A%BF%E4%B8%BA%5Caleph%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%BF%85%E6%9C%89%E5%85%B6%E4%B8%AD%E4%B8%80%E4%B8%AAA_i%E6%9C%89%E5%8A%BF%5Caleph.$

? ? （如果命題不成立，那么所有的集合 $A_i$ 都有勢 $%5Caleph_0$ （都是可列集），就可以將 $%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_i$ 打到 $%5Cmathbb%7BZ%7D%5Ctimes%20%5Cmathbb%7BZ%7D$ 中去，與其不可列產(chǎn)生矛盾。）

? ? ? 如果不依賴這一假設(shè)，我們就需要構(gòu)造雙射，將未知的集合與我們已知勢的集合相對應(yīng)。

?? $%5CPhi%3A%20%5B0%2C1%5D%5E%7B%5Caleph_0%7D%5Cleftrightarrow%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_i$

? ? ? 首先，由于 $%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_i$ 的勢為 $%5Caleph$ ，而 $%5Caleph%5E%7B%5Caleph_0%7D$ 的勢為 $%5Caleph$ ，所以能找到上述一一映射 $%5CPhi$ 將無限維單位正方體映到 $%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_i$ 。換句話說， $%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_i$ 與 $S%3D%5C%7Bx%3D(0.x_1x_2...)%3Bx_i%5Cin%5B0%2C1%5D%5C%7D$ “形式小數(shù)”形成了對應(yīng)。

? ? ? 接下來我們做一個反證假設(shè)：所有的 $A_i$ 的勢均不是 $%5Caleph$ ，那么這對于我們找到的 $%5CPhi$ 形成了怎樣的附加約束呢？

? ? ? ?一個簡單的觀察是必須存在 $%5Calpha_1%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D$ ?使得? ? $E_1%3D%5C%7Bx%3D(0.x_1x_2...)%5Cin%20S%3B%20x_1%3D%5Calpha_1%5C%7D%5Csubset%20S$ ?中不含對應(yīng)于 $A_1$ 的點。

? ? ? ?原因在于如果 $A_1$ 中的點的第一個小數(shù)位全體為 $%5B0%2C1%5D$ ，那么通過“投影”操作（ $A_1$ 映到到其第一個小數(shù)位）知道有單射從 $A_1$ 打到 $%5B0%2C1%5D$ ，另一方面由于 $%5Ccup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DA_i$ 勢為 $%5Caleph$ ，有與 $%5B0%2C1%5D$ 的雙射，于是就有單射從 $A_1$ 打到 $%5B0%2C1%5D$ ，那么 $A_1$ 的勢就是 $%5Caleph$ 了，這和假設(shè)矛盾。

? ? ? 與此同理我們知道對于任何的正整數(shù)? $k%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ 必須存在 $%5Calpha_k%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D$ ?使得 $E_k%3D%5C%7Bx%3D(0.x_1x_2...)%5Cin%20S%3B%20x_i%3D%5Calpha_i%2C1%5Cleq%20i%20%5Cleq%20k%5C%7D%5Csubset%20S$ ?中不含對應(yīng)于 $A_k$ 的點。

? ? ?那么類似 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 不可列的證明，取 $%5Calpha%3D(0.%5Calpha_1%5Calpha_2...%5Calpha_n...)%20%5Cin%20S$ ?但他不對應(yīng)于任何 $A_i%2Ci%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ ，這和 $%5CPhi$ 是雙射產(chǎn)生了矛盾！