“數(shù)”傳千秋，史詩(shī)奏“學(xué)”

——觀B站《數(shù)學(xué)史年表》視頻有感

? ? ? ?“你解的不是數(shù)學(xué)題，是數(shù)學(xué)家的一生?！保\(chéng)如斯言。

? ? ? ?在我大學(xué)本科論文答辯結(jié)束的那天晚上，我寫(xiě)下了《人的歷史與歷史中的人》這篇文章，來(lái)對(duì)我進(jìn)入大學(xué)到彼時(shí)工作生活進(jìn)行總結(jié)：人的歷史之于個(gè)人自是意義重大，以人類(lèi)歷史眼光觀之，又顯得平凡無(wú)奇；但歷史的長(zhǎng)卷，正是由蕓蕓眾生那獨(dú)一無(wú)二的人生軌跡所組成，其斑斕色彩，亦記載了身處其中，人的偉大。

? ? ? ? 對(duì)于視頻中提及的數(shù)學(xué)家而言，從歷史的角度看，上至 歐幾里得、阿基米德等知名先賢，下到佩雷爾曼、懷爾斯等當(dāng)代大師：這些數(shù)學(xué)大師們，有的是數(shù)學(xué)史上為人稱(chēng)贊的天才全才，早年就榮譽(yù)等身；有的是一生默默無(wú)聞，直至身后，才得以名列史書(shū)……如果單拿其中一位數(shù)學(xué)家的一生出來(lái)，放在人類(lèi)歷史中對(duì)比，也只有極少數(shù)人能有濃墨重彩的一筆；但當(dāng)把他們所做的工作放在一起，再度細(xì)細(xì)觀摩，數(shù)學(xué)史——或者說(shuō)人類(lèi)歷史——的厚重感，就自然而然地?fù)涿娑鴣?lái)：而每位觀眾，也會(huì)由衷地為數(shù)學(xué)家所做的工作，而致以敬意。

? ? ? ?數(shù)學(xué)的歷史，在我看來(lái)很大程度上，是人類(lèi)歷史的映射：在我所負(fù)責(zé)執(zhí)教的四年級(jí)數(shù)學(xué)課程里，有個(gè)小節(jié)就是在講授數(shù)的起源，和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的產(chǎn)生。在給學(xué)生講授這一小節(jié)時(shí)，我總會(huì)以最飽滿的熱情教授，因?yàn)檫@是我喜歡的部分：從上古時(shí)代的各類(lèi)計(jì)數(shù)物品，到東西方總結(jié)出的簡(jiǎn)單算術(shù)運(yùn)算和圖形測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫臄?shù)學(xué)，就從這里起步。孩子們可能還不是很清楚，他們?cè)谛W(xué)前四年所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅僅能應(yīng)付他們的日常需求；更是他們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的基石，從五年級(jí)開(kāi)始，他們就要開(kāi)始面對(duì)“變化的數(shù)學(xué)”。身在從算術(shù)到代數(shù)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，作為老師，又未嘗不懷有熱情和敬畏之心呢。

? ? ? ?插個(gè)題外話，盡管有不少數(shù)學(xué)研究者，對(duì)于布爾巴基學(xué)派的主張頗有微詞；實(shí)際上，布爾巴基在數(shù)學(xué)教育方面，也確實(shí)用力過(guò)猛，搞出了不少“糗事”。但在我個(gè)人看來(lái)，布爾巴基的理念其實(shí)是有可取之處的：數(shù)學(xué)學(xué)科在基礎(chǔ)教育階段，同樣也需要讓學(xué)生，得以充分訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維：以歐幾里得的《幾何原本》為例，能傳承兩千多年而始終位列數(shù)學(xué)家入門(mén)第一書(shū)，絕不僅是它所構(gòu)建的歐式幾何體系；更在于它從“公理”、“公設(shè)”、“定義”出發(fā)，依照邏輯推理方法，往上構(gòu)建了整個(gè)歐式幾何體系。學(xué)生需要知道，數(shù)學(xué)體系是怎么被構(gòu)建出來(lái)的，每個(gè)概念是如何被定義的，由定義可以導(dǎo)出什么性質(zhì)……這一點(diǎn)我要特別感謝我高一的班主任老師，以及主講離散數(shù)學(xué)的，我的導(dǎo)師，正是他們二位的數(shù)學(xué)課，讓我明白了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，是何等的重要。至少我個(gè)人認(rèn)為，小學(xué)生是完全可以理解康托爾初始版本的集合論的，而且概括原則雖然存在“康托爾悖論”、“羅素悖論”問(wèn)題，但在小學(xué)階段完全夠用；等需要講到ZFC時(shí)，早已是離散數(shù)學(xué)課的范疇了。

? ? ? ?回到視頻內(nèi)容，《幾何原本》那個(gè)小節(jié)給我的感觸，不亞于后面的西方數(shù)學(xué)成就大爆發(fā)。不僅是因?yàn)樗哪昙?jí)是學(xué)習(xí)歐式幾何的開(kāi)始，還在于最近我的一位學(xué)生，自己也去買(mǎi)了一本《幾何原本》來(lái)看；在他身上，仿佛看到了十幾年前的自己：那時(shí)候也是自己一個(gè)人啃《微積分計(jì)算》，可惜的是，我沒(méi)能得到老師的指導(dǎo)。而現(xiàn)在，終于不會(huì)再有這種遺憾重現(xiàn)了。我不知道他能堅(jiān)持看到哪里，但只要他愿意持續(xù)看下去，他需要幫助的話，我會(huì)幫助他一同閱讀和學(xué)習(xí)。

? ? ? ?盡管現(xiàn)在我執(zhí)教的是小學(xué)數(shù)學(xué)課程，但對(duì)于中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程，一直都在持續(xù)關(guān)注著?！白兓臄?shù)學(xué)”從小學(xué)五年級(jí)的方程開(kāi)始，六年級(jí)就有了隱約的函數(shù)問(wèn)題；中學(xué)數(shù)學(xué)里函數(shù)問(wèn)題是重要的一極，幾乎貫穿了中學(xué)二年級(jí)到六年級(jí)，更不用說(shuō)研究函數(shù)時(shí)少不了的方程、不等式，以及微積分這些數(shù)學(xué)工具——實(shí)際上，我到現(xiàn)在都不理解，04年新課標(biāo)為何刪除了極限等知識(shí)，這使得我后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)受到很大影響——最近在網(wǎng)上引起熱議的四省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷，大概也能一窺經(jīng)過(guò)兩輪數(shù)學(xué)課程內(nèi)容大調(diào)整后，帶給學(xué)生的感受?？傊?，我著實(shí)不喜歡現(xiàn)在的這種情況。

? ? ? ?我大學(xué)學(xué)的是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)，在視頻里看到了帕斯卡、萊布尼茨、布爾、圖靈和馮諾依曼等大師在機(jī)械計(jì)算方面做出的成就。我個(gè)人認(rèn)為在這個(gè)小節(jié)里，不可忽略巴貝奇對(duì)于通用計(jì)算機(jī)械設(shè)想的貢獻(xiàn)（蒸汽時(shí)代就已經(jīng)有了現(xiàn)代馮諾依曼機(jī)體系的大部分設(shè)想，且后人根據(jù)圖紙復(fù)原的差分機(jī)，在數(shù)學(xué)上也是圖靈完備的），以及艾達(dá)對(duì)于算法程序那天才般的洞見(jiàn)。在我的信息科技課上，這兩位數(shù)學(xué)家的研究成果，是我經(jīng)常提起的部分。我希望我的學(xué)生，能在我的數(shù)學(xué)課和信息科技課上，能更好地理解數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的起源。

? ? ? ?行文至此，讓我想起了一段久遠(yuǎn)的往事。

? ? ? ?十六年前，我剛升入中學(xué)一年級(jí)，有幸在班級(jí)圖書(shū)角里找到一本數(shù)學(xué)史的科普書(shū)；書(shū)的名字我早已忘卻，只是隱約記得書(shū)的裝幀倒是很有21世紀(jì)初的風(fēng)格；而里面有一個(gè)小節(jié)，我至今記憶猶新：【費(fèi)爾瑪猜想】；這個(gè)猜想斷言，當(dāng)n大于2時(shí)，方程xn + yn= zn沒(méi)有正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)看到此處，書(shū)中的描述是“至今都還沒(méi)有找到關(guān)于這個(gè)猜想的證明”，彼時(shí)的我并不知道其實(shí)這個(gè)猜想早在1994年，就已經(jīng)由懷爾斯教授嚴(yán)格證明猜想成立——實(shí)際上后來(lái)我才知道，【費(fèi)爾瑪猜想】有個(gè)更為人所知的名稱(chēng)——費(fèi)馬大定理，或者簡(jiǎn)稱(chēng)FLT。

? ? ? ? 彼時(shí)的我，倒沒(méi)有像后來(lái)懷爾斯教授回憶的那樣，在10歲時(shí)“看到它時(shí)，就立志要嘗試解決它”的想法；倒是對(duì)“是否存在一個(gè)解析表達(dá)式，使得對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，都可以得到一個(gè)質(zhì)數(shù)”這個(gè)想法很有興趣，在進(jìn)行了簡(jiǎn)單的測(cè)算后，基于我小學(xué)的所學(xué)，我對(duì)這個(gè)想法持否定態(tài)度，也寫(xiě)了一篇小短文。當(dāng)然，囿于當(dāng)時(shí)知識(shí)的匱乏，短文里所提及到的解析表達(dá)式，不過(guò)是一個(gè)n元多項(xiàng)式；從現(xiàn)在的觀點(diǎn)看，n元多項(xiàng)式自然不足以表示所有的質(zhì)數(shù)；不過(guò)后來(lái)也釋?xiě)蚜撕芏啵词故且粋€(gè)錯(cuò)漏百出的想法，也代表著每個(gè)人都有著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的慧根和潛力。

? ? ? ? 再次和FLT的故事不期而遇的，是在高二語(yǔ)文練習(xí)里看到的《萬(wàn)物皆數(shù)》。最讓我一直感懷不已的，是這么一句話“依靠一塊塊絕對(duì)可靠的公理定理，數(shù)學(xué)家構(gòu)筑出堅(jiān)固的數(shù)學(xué)大廈，每一塊基石都是可靠的，整棟大廈成為人類(lèi)智慧家園里最可信任的一幢。這是數(shù)學(xué)的榮耀。”（本文選自張立憲《費(fèi)馬大定理：一部延續(xù)358年蕩氣回腸的驚險(xiǎn)悲愴愛(ài)情劇》）。誠(chéng)如斯言，盡管求學(xué)時(shí)代，我解不開(kāi)的數(shù)學(xué)題有很多很多，但也因?yàn)檫@句話，直到現(xiàn)在我也依然深?lèi)?ài)著數(shù)學(xué)學(xué)科，深?lèi)?ài)著她的簡(jiǎn)潔而明確，深邃又優(yōu)美的智慧低語(yǔ)。

? ? ? ?很慚愧，在求學(xué)時(shí)代我的數(shù)學(xué)成績(jī)一直都不是那個(gè)最頂尖的，甚至很多年里，都在及格線上來(lái)回浮沉；至今我都不完全明白，自己究竟是學(xué)不好數(shù)學(xué)，還是對(duì)于“數(shù)學(xué)考試”這件事及其背后的分?jǐn)?shù)和排名，一直存在著恐懼感；這使得我本科課程結(jié)束以后（是的，我一直都執(zhí)拗地認(rèn)為，自己沒(méi)有資格接受本科畢業(yè)），在我的教師生涯里，一直都不愿意執(zhí)教數(shù)學(xué)學(xué)科：即使是在大學(xué)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)（我沒(méi)報(bào)考數(shù)學(xué)系，是因?yàn)槲易灾业哪芰Σ蛔阋匀W(xué)習(xí)純數(shù)學(xué)理論，但在報(bào)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)時(shí)我選了偏向理論的CS專(zhuān)業(yè)），我太了解數(shù)學(xué)體系建構(gòu)和數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的不易了，單純的做題背答案，它確實(shí)是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的手段；但太多人把它當(dāng)成用來(lái)應(yīng)付數(shù)學(xué)考試的“目的”；再者，沒(méi)有在數(shù)學(xué)學(xué)院接受過(guò)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的我，即使面對(duì)的是大家都認(rèn)為教學(xué)輕而易舉的小學(xué)生，我也沒(méi)有十足把握能“教好他們的數(shù)學(xué)”（不僅是從我認(rèn)為的數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)理念，也包括讓他們的數(shù)學(xué)成績(jī)成為全級(jí)前列），這不是因?yàn)槲冯y，而是我自認(rèn)的，對(duì)于數(shù)學(xué)的敬畏。

? ? ? ?最后以我十分尊敬的康托爾教授的名言，來(lái)為這篇觀后感作總結(jié)吧，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于她的自由”。

? ? ? ?非常感謝視頻原作者：@歐拉的寶寶 的悉心制作。也祝各位讀者，能在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中，感受到她的簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)和自由。