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雙曲線中一個值得記住的比例

2023-01-02 08:57 作者:數(shù)學老頑童 0人讀過 | 我要投稿

如圖，過雙曲線 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D1$ 的右焦點 $F_2%0A$ 作漸近線的垂線，垂足為 $P$ ，線段 $PF_2$ 交雙曲線于 $Q$ ，則

$%5Cfrac%7B%5Cvert%20F_2Q%20%5Cvert%20%7D%7B%5Cvert%20QP%20%5Cvert%20%7D%20%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20$

證明：如圖，過 $P$ 作 $PG%5Cbot%20x$ 軸，垂足為 $G$ ，

過 $Q$ 作 $QH%5Cbot%20PG$ ，垂足為 $H$ .

因為 $%5Ctan%20%5Cangle%20POF_2%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D$ ，

所以 $%5Ccos%20%5Cangle%20POF_2%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20PO%20%5Cright%7C%3Da$ ， $%5Cleft%7C%20PF_2%20%5Cright%7C%3Db$ ，

因為 $%5Cbigtriangleup%20POG%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20F_2PO$ ，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20OF_2%20%5Cright%7C%7D$

所以 $%5Cleft%7C%20OG%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%5E2%7D%7B%5Cleft%7C%20OF_2%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7Bc%7D$ ，

所以線段 $PG$ 所在直線即為雙曲線的一條準線.

因為 $%5Cbigtriangleup%20PHQ%5Ctext%7B%E2%88%BD%7D%5Cbigtriangleup%20OPF_2$ ，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20F_2P%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20F_2O%20%5Cright%7C%7D$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20F_2P%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20F_2O%20%5Cright%7C%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C$

因為 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QF_2%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20QH%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D$ （雙曲線的第二定義）

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QF_2%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D$ ，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20QF_2%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20QP%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D$ ，證畢.

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