基本不等式 第一記

一、基礎(chǔ)知識(shí)部分

大前題：a，b＞0

從最基本的公式開始推導(dǎo):

（a＋b）2≥0

左邊展開后，兩邊同時(shí)加2ab

a2＋b2＋2ab≥0

a2＋b2≥2ab 重要公式①

兩邊同時(shí)加2ab,整理左邊平方和公式

a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab

（a＋b）2≥4ab

兩邊同時(shí)除以2

(a2＋b2)/2≥2ab 重要公式②

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將 重要公式① 兩邊同時(shí)加（a2＋b2）

2（a2＋b2）≥2ab+a2+b2=(a+b)2

兩邊同時(shí)除以2

a2+b2≥(a+b)2/2 重要公式③

∴基本不等式鏈：a2+b2≥(a+b)2/2≥2ab

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a2＋b2≥2ab

兩邊同時(shí)開根號(hào)

a+b≥2√ab

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在以上所有不等式的基礎(chǔ)上可以求得

∴(1/a+1/b)ab=a+b≥2√ab

兩邊同時(shí)除以(1/a+1/b)√ab

√ab≥2/(1/a+1/b)

兩邊同時(shí)平方

ab≥4/(1/a+1/b)2

兩端同時(shí)乘2

2ab≥8/(1/a+1/b)2

∴基本不等式鏈加強(qiáng)版:

a2+b2≥(a+b)2/2≥2ab≥8/(1/a+1/b)2

同時(shí)除以2:

(a2+b2)/2≥(a+b)2/4≥ab≥4/(1/a+1/b)2

同時(shí)開根號(hào):

√[(a2+b2)/2]≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)