第三部分：《高等數(shù)學》上二階線性微分方程的解的結構的四個定理的證明——

a.定理一——

如果函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個解，那么y*=C1y1（x）+C2y2（x）也是該方程的解，其中C1與C2是任意常數(shù)。

證明——

1. 已知函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個解，即

   y1"+P（x）y1'+Q（x）y1=0，

   y2"+P（x）y2'+Q（x）y2=0；

2. 由y*=C1y1（x）+C2y2（x），有

   y*"+P（x）y*'+Q（x）y*

   =[C1y1(x)+C2y2(x)]"+P(x)[C1y1(x)+C2y2(x)]'+Q（x）[C1y1(x)+C2y2(x)]

   =C1[y1"+P(x)y1'+Q(x)y1]+C2[y2"+P(x)y2'+Q(x)y2]=0，即y*也是該方程的解，證畢。

b.定理二——

如果函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個線性無關的特解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）就是該方程的通解，其中C1與C2是任意常數(shù)。

證明：同濟書上沒給證明我們暫時不聊，之后會在《常微分方程》內(nèi)容中詳談。

c.定理三——

設y*（x）是二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一個特解，Y(x)是該方程對應的齊次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二階非齊次線性微分方程的通解。

證明：

1. 將y=Y（x）+y*（x）代入方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x），

   [Y（x）+y*（x）]"+P（x）[Y（x）+y*（x）]'+Q（x）[Y（x）+y*（x）]

   =[y*"+P（x）y*'+Q（x）y*]+[Y"+P（x）Y'+Q（x）Y]

   =f（x）+0

   =f（x），即y是非齊次線性方程的解；

2. 又Y作為齊次方程的通解，所以含有兩個任意常數(shù)，所以y里面也含有兩個任意常數(shù)，即y為原二階非齊次線性微分方程的通解。

d.定理四——

設二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是兩個函數(shù)之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）與y*2（x）分別是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）與y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——線性微分方程的疊加原理。

證明：

1. 將y=y*1（x）+y*2（x）代入原方程左端y"+P（x）y'+Q（x）y——

   y"+P（x）y'+Q（x）y

   =[y*1（x）+y*2（x）]"+P（x）[y*1（x）+y*2（x）]'+Q（x）[y*1（x）+y*2（x）]

   =[y*1(x)"+P(x)y*1(x)'+Q(x)y*1(x)]+[y*2(x)"+P(x)y*2(x)'+Q(x)y*2(x)]

   =f1（x）+f2（x）

   =f（x），即y*1（x）+y*2（x）為原方程一個特解。

這就是同濟書上，對二階線性常微分方程的解的結構的四條定理的相關內(nèi)容。