若場是一個洛倫茲標(biāo)量，那么它就是標(biāo)量場。在固有保時向洛倫茲變換下，若時空坐標(biāo)的變換為則標(biāo)量場的變換形式是：

實(shí)標(biāo)量場滿足自共軛條件：

進(jìn)行量子化之后，實(shí)標(biāo)量場是一個厄米算符。

不參與相互作用的自由實(shí)標(biāo)量場的拉格朗日量密度為：

或：

其中是實(shí)標(biāo)量場的質(zhì)量。拉格朗日量密度的第一項(xiàng)稱為動能項(xiàng)，第二項(xiàng)稱為質(zhì)量項(xiàng)。由于：

所以：

總結(jié)起來就是：

把這些結(jié)果代入到歐拉-拉格朗日方程中去，可得到標(biāo)量場滿足如下的克萊因-高登方程：

這個方程還有其他的形式，不過只是寫法上的不同，沒有本質(zhì)區(qū)別：

實(shí)標(biāo)量場對應(yīng)的共軛動量密度為：

那么實(shí)標(biāo)量場的哈密頓量密度表示為：

現(xiàn)在，把實(shí)標(biāo)量場與動量密度都看作算符，則等時對易關(guān)系為：

這種做法叫正則量子化。

在量子力學(xué)中，單粒子波函數(shù)的平面波解為：

由于：

可見，能量與動量算符分別為：

組合起來，四維動量算符是：

平面波解可表達(dá)為則：

也就是說，這個平面波解描述四維動量為的粒子。

現(xiàn)在在量子場論中討論。設(shè)實(shí)標(biāo)量場具有平面波解：

則有：

為了滿足這個條件，要求：

其中：

從而，克萊因-高登方程有兩種平面波解，分別是的正能解：

和的負(fù)能解

從而，滿足克萊因-高登方程的場算符的一般解為（這里做了傅里葉展開，把場算符展開成無窮多個）：

其中和都是只依賴于的算符，是歸一化因子。

取一下厄米共軛，得到：

因此，實(shí)標(biāo)量場的自共軛條件，要求：

因而：

令為粒子的動量則有：

其中是正的，滿足質(zhì)殼條件：

即

是湮滅算符，對應(yīng)于正能解，是產(chǎn)生算符，對應(yīng)于負(fù)能解。

共軛動量密度的平面波展開為：