我們都知道，秩是矩陣中的重要概念。但是你對(duì)它有什么直觀的認(rèn)識(shí)嗎？

本期視頻中，我們用篩子作比喻，對(duì)秩做一個(gè)形象的講解。

1 矩陣的作用

秩是矩陣中的重要概念，談秩肯定是離不開(kāi)矩陣的。

因此，我們先來(lái)看看矩陣的作用。

矩陣完成的是向量空間的映射。

它負(fù)責(zé)將左邊向量空間的點(diǎn)，映射到右邊的向量空間

如果將左邊的區(qū)域都用相同的規(guī)則進(jìn)行映射,就可以得到右邊的區(qū)域

此時(shí)，因?yàn)橹鹊牟煌?，映射后的維度會(huì)有所不同

可以看到秩越大，映射后圖形的維度越高。

2 矩陣是篩子

因?yàn)樯厦娴慕Y(jié)論，所以可以將矩陣A看作一個(gè)篩子：

那么矩陣的秩rank(A)可以看作篩眼的大小，rank(A)越小對(duì)應(yīng)的篩眼越?。ê雎缘艉Y子的形狀，下面用帶網(wǎng)格的圓來(lái)表示篩子）：

篩眼越小，自然漏過(guò)去的越小。

3 矩陣復(fù)合的秩

把矩陣的秩看作篩眼的大小還是有一定解釋能力的。比如矩陣的秩有如下的性質(zhì)，該性質(zhì)也稱為矩陣復(fù)合的秩：

A ,B 可以看作兩個(gè)篩子：

可以用帶網(wǎng)格兩個(gè)圓來(lái)表示這兩個(gè)篩子，可以看到各自的篩眼大小不同，也就是各自的矩陣的秩不相同：

當(dāng)這兩個(gè)篩子疊在一起的時(shí)候，疊加部分的篩眼變小了，比單獨(dú)某一個(gè)篩子的篩眼要小：

所以此時(shí)有：

當(dāng)然還有可能A 、B如下：

這時(shí)疊在一起時(shí)，疊加部分的篩眼等于其中某一個(gè)篩子的篩眼：

所以此時(shí)有；

綜合起來(lái)就是：

4 滿秩矩陣復(fù)合的秩

滿秩矩陣P可以看作完全沒(méi)有篩眼的篩子：

這樣兩者復(fù)合，篩眼大小就完全取決于A:

所以可得到滿秩矩陣復(fù)合的性質(zhì)：

5 結(jié)語(yǔ)

用篩眼比做矩陣的秩

這個(gè)比喻雖然形象，但并不嚴(yán)謹(jǐn)。更多，更系統(tǒng)的線代知識(shí)，可以在馬同學(xué)的網(wǎng)站上進(jìn)行學(xué)習(xí)

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