二次函數圖像特點應用

天津市第四十二中學課題研究 王子涵 黃子軒 張祿垚 吳漢森 劉洋 么家桐 何忠宸

指導教師：張力芹

定義:表達式如y=ax^2+bx+c?(a≠0,且a,b,c是常數)的函數,我們把y叫做x的一元二次函數.?

二次函數有三種表達式:?

?(1)一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）?

?(2)頂點式：y=a(x-h)^2+k?[拋物線的頂點P（h，k）對于二次函數y=ax^2+bx+c?其頂點坐標為?(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>?

?(3)交點式：y=a(x-x?)(x-x??)?[僅限于與x軸有交點A（x?，0）和?B（x?，0）的拋物線??其中x1，2=?-b±√b^2－4ac??

3.?圖象特征:一條拋物線,對稱軸是?x=-b/2a,頂點為?(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)??當a>0開口向上,在對稱軸的左側y隨x的增大而減小,?在對稱軸的右側y隨x的增大而增大??當a<0開口向下,?在對稱軸的左側y隨x的增大而增大,在對稱軸的右側y隨x的增大而減小.??

4借助二次函數的圖象和性質解決有關生活實際問題的基本方法：??數學模型?轉化?實際問題（二次函數的圖象和性質）??實際問題（二次函數的圖象和性質）?回歸?數學模型

重難點1、軸對稱

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二次函數圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線 ，對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖象的頂點P。特別地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。是頂點的橫坐標（即x=？）。a,b同號，對稱軸在y軸左側；a,b異號，對稱軸在y軸右側。

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2、頂點

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二次函數圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)。

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當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k（x≠0）

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3、開口

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二次項系數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。當a>0時，二次函數圖象向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。

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4、決定位置因素

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一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

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當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同號。

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當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號。

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可簡單記憶為左同右異，即當對稱軸在y軸左時，a與b同號（即a>0，b>0或a<0，b<0）；當對稱軸在y軸右時，a與b異號（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。