熱輻射的背景知識(shí)

# 熱輻射

## 熱傳遞的形式

• 熱傳導(dǎo)：兩物體接觸傳熱
• 熱對(duì)流：溫度改變而引起的密度變化，進(jìn)而產(chǎn)生蠕動(dòng)
• 熱輻射：電磁波作用【經(jīng)典理論】（光子的碰撞）

## 熱輻射的量化

電磁波的能量【具體查看：[電磁學(xué)：麥克斯韋理論-電磁波的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)](https://www.bilibili.com/video/BV1ix411q74g/?p=3)】

• 能量密度：?jiǎn)挝惑w積的能量，體現(xiàn)能量的多少（量綱：焦耳J）
• 能流密度：?jiǎn)挝幻娣e所流入的功率

### 能量密度

• 總能量密度U(r, t)
• 能量譜密度u(r, v, t)：某一頻率/波長(zhǎng)在單位時(shí)間的能量

能量譜密度u(r, v, t)的波長(zhǎng)表達(dá)式u(r, λ,t)

### 能流密度

總功率ψ

### 輻射照度

描述外界的作用，而能流密度描述體系向外界的作用

• 能流密度體現(xiàn)輻射本領(lǐng)

• 總輻射照度E：?jiǎn)挝幻娣e接收外界的能量
• 輻射譜密度e
• 吸收本領(lǐng)：（衡量？）體系對(duì)外輻射的響應(yīng)

不同頻率的光有不一樣的吸收本領(lǐng)

## 熱輻射的公式

### 基爾霍夫輻射定律

其中 r(v,T)為能流的譜密度、α(v,T)為吸收本領(lǐng)、e(v,T)為輻射照度的譜密度【注意 T 為溫度，而非時(shí)間 t 】

注意：公式的條件，即上圖中標(biāo)注五角星的公式（體現(xiàn)物理意義：吸收=釋放），而以下為普適公式

### 公式2（up 省略推導(dǎo)）

其中 e(v,T) 為輻射照度的譜密度、u(v,T)為能量密度的譜密度【注意 T 為溫度，而非時(shí)間 t 】

注意：此公式需為平衡態(tài)才能使用

推導(dǎo)可參看：趙凱華《量子物理》-第一章

### 黑體輻射

• 黑體：【熱學(xué)】對(duì)外完全吸收輻射，而不發(fā)生反射

黑體模型：開(kāi)小孔的箱子（內(nèi)有褶皺）

使用基爾霍夫輻射定律與公式2

可得

黑體輻射能量密度公式的版本：

• Wien 公式

當(dāng)加入無(wú)理由假定——分子的動(dòng)能與輻射頻率成正比，可得

擬合曲線：處于上方曲線為實(shí)驗(yàn)，處于下方曲線為 Wien公式

• Rayleigh-Jeans公式

其中 k 為玻爾茲曼常數(shù)

擬合曲線：其為二次函數(shù)

明顯問(wèn)題：當(dāng)頻率無(wú)限增大則能量將趨于無(wú)窮，與事實(shí)相矛盾，因此引發(fā)“紫外災(zāi)難”

### 普朗克提出量子化

• Planck公式【推導(dǎo)需使用熱統(tǒng)】

能量的譜密度u公式理解

### 拓展的熱輻射公式

• Stefan-Boltmann 公式

其中R 為總輻射流密度

推導(dǎo)過(guò)程（由 Wien 公式）

• Wien 位移定律

推導(dǎo)過(guò)程（使用 Wien 公式）

求導(dǎo)可得

光電效應(yīng)

# 光電效應(yīng)

• 定性判斷：光的能量傳遞給陰極的電子使之能從金屬中逸出
• 定量【流出金屬的電子數(shù)量（流量？）、電子的逸出速度】：無(wú)法使用電磁波理論解釋

## 測(cè)量方法

### 電子速度

原理：通過(guò)電子克服電場(chǎng)力的功求出電子速度

操作流程：調(diào)節(jié)上圖中的變阻器 => 調(diào)節(jié)下圖中的電容器的電壓

調(diào)節(jié)變量：

• 入射的光強(qiáng)
• 金屬材料
• 入射波的波長(zhǎng)

圖像：

• i-u 圖像：光電流 i 與外加電壓 u 的關(guān)系
• u0-v圖像：截止電壓 u0 與光的頻率 v 的關(guān)系

#### i-u 圖像的特點(diǎn)

• 光電流增長(zhǎng)存在極限值 i_m，即飽和電流
• 外加電壓存在截止電壓 u0

• 飽和電流 i_m：正比于光強(qiáng)，但也有飽和值

原理：光強(qiáng)為能流密度，則其越大則越能使電子的流量越大；飽和值則為金屬可逸出電子有限

• 截止電壓u0

原理：逸出電子速度與 `到陽(yáng)極的最短距離` 的 `最大投影速度` 亦不能克服電場(chǎng)力到達(dá)陽(yáng)極時(shí)的電壓

#### u0-v 圖像的特點(diǎn)

• 截止頻率v0：發(fā)生電子逸出的最小頻率（即電子逸出與頻率有關(guān)，而與光強(qiáng)無(wú)關(guān)?！緋s: 但事實(shí)是一個(gè)電子未必只吸收一個(gè)光子。當(dāng)光強(qiáng)較弱時(shí)，越是如此；當(dāng)光強(qiáng)較大時(shí)也會(huì)發(fā)生電子逸出----中科院物理所.《1分鐘物理》學(xué)習(xí)篇第40問(wèn)】）

## 經(jīng)典電磁學(xué)的問(wèn)題

注：下圖中標(biāo)出星號(hào)的為經(jīng)典電磁學(xué)的出現(xiàn)問(wèn)題的地方

• 弛豫：達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間

經(jīng)典電磁學(xué)的所計(jì)算出的電子達(dá)到穩(wěn)定逸出的時(shí)間（即弛豫時(shí)間）為分鐘數(shù)量級(jí)，但實(shí)際為10^-9 s的數(shù)量級(jí)

## 光電效應(yīng)的解釋

光的本質(zhì)探討：粒子性與波動(dòng)性

光的粒子性體現(xiàn)出量子性

由光具有粒子性，可得【愛(ài)因斯坦】

由此可以解釋：u0-v圖像（截止電壓 u0 與光的頻率 v 的關(guān)系）

• 瞬間性問(wèn)題：光子與電子碰撞過(guò)程較短，因此弛豫時(shí)間十分短暫

### 實(shí)驗(yàn)：應(yīng)用愛(ài)因斯坦光電方程

• 擬合

• 計(jì)算

譜線經(jīng)驗(yàn)公式

問(wèn)題：分立光譜的出現(xiàn)

# 氫光譜經(jīng)驗(yàn)公式

## 巴爾末經(jīng)驗(yàn)公式

其中n為正整數(shù)

## 里德伯經(jīng)驗(yàn)公式

適用于范圍：可見(jiàn)光譜線

注意：波數(shù) υ^~$ 區(qū)別于頻率υ

### 里德伯經(jīng)驗(yàn)公式拓展——譜線系

玻爾模型的內(nèi)容

# 玻爾模型

## 三條假設(shè)

• 定態(tài)假設(shè)：電子在圍繞原子核定軌運(yùn)動(dòng)
• 能量量子化假設(shè)：原子內(nèi)部為分立的能量態(tài)
• 角動(dòng)量量子化假設(shè)

• 躍遷：基于能量量子化假設(shè)，電子在不同能級(jí)間跳躍

注意：區(qū)別普朗克常量?與?的不同

## 電子軌道性質(zhì)

### 力學(xué)性質(zhì)

電子受力F的通用表示與兩體問(wèn)題的約化質(zhì)量

### 軌道性質(zhì)求解

• 軌道半徑r_n和速度v_n

• 軌道能量E_n：動(dòng)能 + 勢(shì)能

## 里德伯經(jīng)驗(yàn)公式證明

證明過(guò)程如下

注意：在歷史的早期使用電子質(zhì)量m表示，而不是約化質(zhì)量μ，之后的探索中（同位素），改為約化質(zhì)量

### 里德伯常量R

#### 特殊的里德伯常量R

• R_∞：當(dāng)氫核質(zhì)量M無(wú)限大時(shí)的里德伯常量

#### 一般的里德伯常量R

已知如下，求里德伯常量R

結(jié)果為

• 單電子時(shí)，在不同元素可以表示為

則里德伯常量R，可得

• 類氫原子： He^+、Li^2+

## 氫原子軌道的性質(zhì)

已知

### 軌道半徑 r_n

• 氫原子H

• 類氫原子（He^+、Li^2+）軌道半徑 r_n

### 軌道能量E_n

• 氫原子H

基態(tài)：能量最低的能級(jí)

第一激發(fā)態(tài)：第二低的能級(jí)

第二激發(fā)態(tài)：第三低的能級(jí)

……

• 類氫原子：He^+、Li^2+

軌道性質(zhì)總結(jié)

### 躍遷的波數(shù)ν^~

注意：基態(tài)能量E_1為負(fù)數(shù)，而里德伯常量R_H為正數(shù)

里德伯常量的簡(jiǎn)化可由

# 玻爾模型的缺陷

• 實(shí)際角動(dòng)量 L_n 量子化應(yīng)該為

• 半經(jīng)典半量子的觀點(diǎn)，使其只能適用對(duì)稱性較好的體系，而不適用多電子體系
• 定態(tài)假設(shè)，電子不發(fā)生輻射

盧瑟福的質(zhì)疑：電子如何定態(tài)？

薛定諤的質(zhì)疑：電子躍遷的中間過(guò)程的能量狀況？

玻爾模型的例題

# 回顧

• 在反平方比的F適用α
• 兩體問(wèn)題適用約化質(zhì)量μ

# 例1：同位素

## 例1-1

## 例1-2

求解：（其中m_p為質(zhì)子質(zhì)量，m_e為電子質(zhì)量）

注意：約化質(zhì)量μ可以取 1H與2H的平均，也可取1H

## 例1-3

即為求解Δμ / μ，以下僅表示出Δμ

# 例2：軌道狀態(tài)

由萬(wàn)有引力F，可得（其中m_p為質(zhì)子質(zhì)量，m_e為電子質(zhì)量）

• 半徑r_n

注意：需要考慮題目是否為——質(zhì)子質(zhì)量m_p 遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量m_e

• 能量E_n

注意：當(dāng)可以不用修正約化質(zhì)量μ時(shí)，才可以使用約等于

• 基態(tài)半徑r_1與基態(tài)能量E_1

一些常數(shù)

基態(tài)半徑r_1的數(shù)量級(jí)估計(jì)

基態(tài)能量E_1的數(shù)量級(jí)估計(jì)

對(duì)比庫(kù)侖力的基態(tài)能量E_1

# 例3：電子偶素

• 系數(shù)α和約化質(zhì)量μ

## 例3-1

在正電子為參考系，可得基態(tài)半徑r_1

當(dāng)使用地面系，即質(zhì)心參考的提示

## 例3-2 求解電離能，即求解基態(tài)能量E_1

## 例3-3：基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的躍遷能

弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)

# 物理過(guò)程

初始：電子（少量）激發(fā)后以微弱速度往G，同時(shí)與汞蒸氣碰撞，汞躍遷（極少） -> 基態(tài) -> 發(fā)光（微弱）。可認(rèn)為不發(fā)生汞原子的碰撞，電子加速到G，然后G-P段減速

# 圖像

## 發(fā)光區(qū)域

隨著K-G電壓的增大，發(fā)功區(qū)域：最遠(yuǎn)處從G -> K

## 電流

K-P電壓增大所以雖然呈現(xiàn)波動(dòng)電流，但電流整體為波動(dòng)上升的

## 電壓峰值間隔

電壓為峰值間隔電壓4.9v，其為汞原子的基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的能量4.9eV

# 留下的問(wèn)題：汞原子躍遷到其他激發(fā)態(tài)

兩種情況：汞原子躍遷到其他激發(fā)態(tài)

• 在電壓較高的時(shí)候，電子開(kāi)始未與汞原子碰撞，當(dāng)電子能量較高時(shí)，直接將汞原子激發(fā)到更高的激發(fā)態(tài)
• 電子開(kāi)始與多個(gè)汞原子碰撞，汞原子均躍遷到第一激發(fā)態(tài)（后面的電子將使得處于第一激發(fā)態(tài)的汞原子躍遷到更高的激發(fā)態(tài)）

## 實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)