我們先復(fù)習(xí)一下實(shí)數(shù)完備性第二個(gè)定理的內(nèi)容：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

我們把這個(gè)定理換一種更好應(yīng)用的方式表述——單增有上界數(shù)列必有極限，單減有下界數(shù)列必有極限。

而這個(gè)定理常常會(huì)用到的地方——

1. 典型能看出來單調(diào)的數(shù)列，比如我們學(xué)到后面的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定法中，就有這條定理的應(yīng)用；

2. 考試的時(shí)候，如果遇到“證明XXX迭代數(shù)列是收斂的”優(yōu)先考慮能不能用這個(gè)定理——迭代數(shù)列是拿一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)表示an的方式，比如最簡(jiǎn)單的迭代數(shù)列a1=1，an=an-1+1就是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列。

這個(gè)定理的用法也很簡(jiǎn)單——

1. 判斷迭代數(shù)列是否單調(diào)？——是，進(jìn)第2步，否，考慮其他辦法；

2. 判斷迭代數(shù)列是否有界？——是，進(jìn)第3步，否，則數(shù)列發(fā)散；

3. 由1、2可知數(shù)列是有極限a的，那么我們令n趨向于無窮大，就可以得到一個(gè)關(guān)于極限a的方程，解出方程即可得到極限a。

下面繼續(xù)看例題——

35例題

3.經(jīng)典題：迭代數(shù)列，xn+1=xn（2-xn）的極限（0<x0<1）——

依然是一道各大教材都會(huì)講到的一道經(jīng)典題，先是分析步驟——

1. xn+1=xn（2-xn）=2xn-xn^2=-（xn-1）^2+1<=1，有上界；

2. 我們照例寫出前若干項(xiàng)，已知0<x0<1——

   x1=x0（2-x0）>0，0<x1<1；……

已經(jīng)可以看出來這個(gè)數(shù)列是一個(gè)有界數(shù)列，下界為0，上界為1，我們用歸納法證明——

1. 已知0<x0<1，0<x1<1；

2. 假設(shè)0<xn<1，則0<xn（2-xn）<1，即0<xn+1<1；

3. 證畢，該數(shù)列為有界數(shù)列。

再研究其單調(diào)性——

1. 作差：xn+1-xn=xn（2-xn）-xn=2xn-xn^2-xn=xn-xn^2=xn（1-xn）；

2. 顯然，當(dāng)0<xn<1時(shí)該數(shù)列單增，當(dāng)xn<0或xn>1時(shí)數(shù)列單減；

3. 我們由有界性已知0<xn<1，這個(gè)數(shù)列是一個(gè)單增數(shù)列。

單增有界數(shù)列必有極限x——

1. 我們令迭代公式兩側(cè)n同時(shí)趨向于無窮，lim?xn+1=lim?xn（2-xn）；

2. 即x=x（2-x）；

3. 解出x=0或x=1；

4. 因?yàn)?/span>0<xn<1且該數(shù)列單增，則0<x0<xn<=x<=1，所以x=1即為該數(shù)列極限。

接著書上對(duì)這道題結(jié)論的應(yīng)用做出來一點(diǎn)說明——

用計(jì)算機(jī)求1/c的方法，這道例題史濟(jì)懷老師《數(shù)學(xué)分析教程》上花了一小節(jié)的篇幅來講——

1. xn=cyn；

2. xn+1=xn（2-xn），則cyn+1=cyn（2-cyn），即yn+1=yn（2-cyn）；

3. 0<y0<1/c；

4. 同理可證得 lim yn=1/c。

   ——即使一種近似的求1/c的方法，n越大，精確度越高。

后天繼續(xù)！