2月11日美國數(shù)學(xué)家、麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系的榮休學(xué)院教授伊薩多·辛格去世，享年96歲。辛格是當(dāng)代最杰出的數(shù)學(xué)家之一，其最著名的工作，即與英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞合作發(fā)現(xiàn)并證明的指標(biāo)定理。這項(xiàng)杰作為純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的分析、幾何和拓?fù)浣⑵饦蛄海钟纱藢⑽锢韺W(xué)中的楊-米爾斯理論與拓?fù)鋵W(xué)中的纖維叢理論統(tǒng)一起來，成為了如今數(shù)學(xué)與理論物理學(xué)融合的基礎(chǔ)。當(dāng)然，辛格也受到一眾數(shù)學(xué)大家的影響與啟發(fā)，以此可追尋其思想脈絡(luò)，并見證20世紀(jì)后半葉的數(shù)學(xué)與物理學(xué)的偉業(yè)。本文將帶領(lǐng)我們深入數(shù)壇，追憶這位一代“歌王”。

撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

伊薩多·辛格(Isadore Singer，1924-2021) 圖源：MIT

美國時(shí)間今年2月11日，正是中國農(nóng)歷辭歲迎新之際，麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系的榮休“學(xué)院教授 (Institute Professor) ”伊薩多·辛格 (Isadore Singer，1924-2021) 與世長辭，離他97周歲生日不到三個(gè)月。如同他的英文姓氏“Singer”基本詞義那樣，這位嘹亮歌聲響徹在現(xiàn)代數(shù)學(xué)“歌劇院”大廳里的一代歌王，永遠(yuǎn)停止了歌唱。數(shù)學(xué)愛好者對(duì)他的感激與懷念，將與聲樂愛好者對(duì)帕瓦羅蒂 (Luciano Pavarotti，1936-2007) 的感激與懷念是一樣的濃烈。在此一個(gè)月前，我還花了幾晚的就寢前時(shí)間，重讀了丘成桐教授編篡的陳省身 (1911-2004) 先生80周歲慶祝文集中的大部分文章，其中包括辛格教授為之專寫的一篇。在三頁短文中，辛格回顧了1949年當(dāng)他在芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系撰寫博士論文之際，剛剛被系主任斯通 (Marshall Stone，1903-1989) 教授聘任為數(shù)學(xué)系正教授而去執(zhí)教的陳省身為研究生開設(shè)的一門幾何課程，其彌漫教室的整體微分幾何的思想與方法，對(duì)他到那時(shí)為止四十年數(shù)學(xué)人生所產(chǎn)生的重大影響。

辛格出身于從波蘭移民到美國密歇根州汽車城底特律的一個(gè)猶太人家庭。但不像長他一輩的神童、他后來的麻省理工學(xué)院同事維納 (Nobert Wiener，1894-1964) 那樣父親是語言天賦很高的哈佛大學(xué)斯拉夫語教授，辛格的父親是一名印刷工人，來到北美洲新大陸后的語言適應(yīng)能力非常弱，以至于英文聽說還是跟這個(gè)出生后進(jìn)步神速的聰明兒子學(xué)會(huì)的。辛格和比他年輕六歲的本州居民、后來和他在加州大學(xué)伯克利分校同事過四年的拓?fù)鋵W(xué)家斯梅爾 (Stephen Smale，1930-) 一樣，考進(jìn)了密歇根大學(xué)，但學(xué)的是物理。兩年半后辛格于1944年初匆匆畢業(yè)，參加二戰(zhàn)，作為美國陸軍雷達(dá)技術(shù)人員駐扎在菲律賓。不過那時(shí)的辛格已經(jīng)修過兩門現(xiàn)代物理課程——量子力學(xué)與相對(duì)論。但他認(rèn)為自己盡管能做題目，卻沒有真正理解它們，原因是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠。為了戰(zhàn)后更好地掌握他還沒來得及學(xué)好的相對(duì)論與量子力學(xué)，辛格白天忙于戰(zhàn)時(shí)的緊張工作，晚間參加芝加哥大學(xué)提供的兩門函授課程全力進(jìn)修抽象數(shù)學(xué)，一門是微分幾何，另一門是近世代數(shù)，這很對(duì)他的胃口。那時(shí)他僅僅把數(shù)學(xué)作為未來繼續(xù)深造物理的工具，而沒有將它視為終其一生的職業(yè)。

許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家都有類似的經(jīng)歷。開始，他們對(duì)自己的真正愛好尚未有所察覺，但隨著知識(shí)的深化和閱歷的拓廣，很快就對(duì)某個(gè)學(xué)科有了感覺，對(duì)自己的興趣和天賦所在開始心中有數(shù)，乃至立下雄心壯志，誓言與之廝守終生。比如說去年也是高齡去世的戴森(Freeman Dyson，1923-2020) 教授，他40年代初進(jìn)入英國劍橋大學(xué)時(shí)，先和狄拉克(Paul Dirac，1902-1984) 學(xué)習(xí)物理，但在哈代 (Godfrey Hardy，1877-1947) 的影響下以純粹數(shù)學(xué)家的面貌出道。來到美國的康奈爾大學(xué)后，碰到天才的費(fèi)曼 (Richard Feynman，1918-1988)，戴森迅速在量子電動(dòng)力學(xué)做出杰出的貢獻(xiàn)，剛進(jìn)入而立之年就被普林斯頓高等研究院的院長聘為終身教授，比他終生的同仁兼好友楊振寧還要早上兩年。登上今年春節(jié)美國發(fā)行的新年郵票的吳健雄 (1912-1997) ，于上世紀(jì)30年代初考取中央大學(xué)時(shí)進(jìn)入的是數(shù)學(xué)系，博覽群書后發(fā)現(xiàn)自己的摯愛在實(shí)驗(yàn)物理，于是一年后就轉(zhuǎn)到物理系，在居里夫人唯一的中國籍物理學(xué)博士施士元 (1908-2007) 教授指導(dǎo)下寫了學(xué)士論文。維納最優(yōu)秀的學(xué)生列文森 (Norman Levinson，1912-1975)，在麻省理工學(xué)院所學(xué)的是電機(jī)工程專業(yè)，一直念到1934年取得學(xué)士和碩士學(xué)位，而一年后獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，后來成為那個(gè)時(shí)代麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系從教學(xué)型轉(zhuǎn)化為研究型的主要建筑師之一，并被提拔為最高榮譽(yù)的“學(xué)院教授”。更有意思的一個(gè)“轉(zhuǎn)型”例子，當(dāng)屬我在密歇根州立大學(xué)讀博士學(xué)位時(shí)的學(xué)術(shù)顧問顏憲堯 (David Yen) 教授。他于臺(tái)灣大學(xué)的機(jī)械系畢業(yè)后，到了密歇根州立大學(xué)機(jī)械工程系讀研究生。但他在快拿到博士學(xué)位時(shí)發(fā)現(xiàn)那些工程知識(shí)的基礎(chǔ)都是數(shù)學(xué)，覺得先把這些基礎(chǔ)數(shù)學(xué)搞懂再說。于是他轉(zhuǎn)往紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，念了個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)博士學(xué)位，最終又回到密歇根州立大學(xué)任教，但落腳數(shù)學(xué)系。這些例子說明，選擇最合自己口味的學(xué)科容易成就自己。我當(dāng)年讀大學(xué)時(shí)，學(xué)校幾乎不讓學(xué)生轉(zhuǎn)換專業(yè)，可能耽誤了不少有某種天賦的大學(xué)新生的前程。如今，這種僵化的制度據(jù)說已經(jīng)被打破，更適應(yīng)了優(yōu)質(zhì)青年的成長。

二戰(zhàn)結(jié)束后，因函授課程而愛上芝加哥大學(xué)的辛格去了該校繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，1948年取得數(shù)學(xué)碩士學(xué)位。本來計(jì)劃學(xué)一年數(shù)學(xué)后再回到本行物理的他，到了這個(gè)時(shí)候卻改變了初衷，興趣完全轉(zhuǎn)到純數(shù)學(xué)，認(rèn)為它的美學(xué)價(jià)值高于物理學(xué)。于是他一不做二不休，投身于那年剛?cè)ブゼ痈绱髮W(xué)教書的另一個(gè)猶太人歐文·西格爾 (Irving Segal，1918-1998) 的門下，在其指導(dǎo)下兩年后獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。他的博士論文標(biāo)題是“無界算子的李代數(shù)”，屬于泛函分析與抽象代數(shù)的交集。1998年導(dǎo)師去世，七年后在一次采訪中，辛格回憶說：“他授課的方式是將學(xué)生訓(xùn)練成一名研究型數(shù)學(xué)家，并且他辦公室的門永遠(yuǎn)對(duì)學(xué)生敞開，討論數(shù)學(xué)，甚至到半夜三更?！彼孕粮裾f“I learned a great deal”。西格爾出名很早，不到16歲就考進(jìn)了普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系，三年后畢業(yè)，并獲得獎(jiǎng)勵(lì)本系優(yōu)秀學(xué)生的George B. Covington 獎(jiǎng)；再過了三年，他在耶魯大學(xué)的著名分析學(xué)家埃納爾·希勒 (Einar Hille，1894-1980) 手中拿到博士證書。中國學(xué)習(xí)分析的數(shù)學(xué)研究生大概對(duì)希勒同別人合著的大書《泛函分析與半群》印象深刻。在希勒和西格爾兩代分析高人的熏陶下，辛格那時(shí)的主要訓(xùn)練在微分方程和泛函分析。這些與物理關(guān)系密切的分析學(xué)領(lǐng)域，與他念本科時(shí)所醉心的量子力學(xué)息息相關(guān)。他訓(xùn)練有素的分析功底，加上他“幸運(yùn)地”從陳省身教授那里學(xué)到的整體微分幾何概念以及逐步掌握到的拓?fù)渲R(shí)，為他后來一直活躍在分析和幾何兩大學(xué)科，并且于60年代初同英國杰出數(shù)學(xué)家阿蒂亞 (Michael Atiyah，1929-2019) 共同證明了關(guān)于橢圓型微分算子的指標(biāo)定理，奠定了雄厚的基礎(chǔ)。

我有幸于1994年的金秋10月參加了麻省理工學(xué)院紀(jì)念天才人物維納冥誕100周年及逝世30周年的“維納傳奇百年研討會(huì)”，親眼目睹了幾位數(shù)學(xué)大師的風(fēng)采。記憶猶新的是當(dāng)那年的菲爾茲獎(jiǎng)獲得者布爾甘 (Jean Bourgain，1954-2018) 做完報(bào)告后，已經(jīng)退休的西格爾老教授寶刀不老，不停地質(zhì)疑他一系列數(shù)學(xué)問題，其咄咄逼人的攻勢幾乎讓對(duì)方招架不住。自然，辛格教授臉上那塊與眾不同的“胎記”也讓我印象深刻，但他面對(duì)與會(huì)的俄羅斯人、普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授西奈 (Yakov Sinai，1935-) 所表現(xiàn)出的彬彬有禮君子風(fēng)范，留給我比對(duì)他的導(dǎo)師更難以磨滅的鮮明印象。

學(xué)了很多現(xiàn)代分析知識(shí)的辛格在其博士生階段最后一年的時(shí)候，已經(jīng)享譽(yù)國際數(shù)學(xué)界的中國數(shù)學(xué)家陳省身開始了他后來在芝加哥大學(xué)十年教書的生涯。陳先生1936年在德國漢堡大學(xué)的幾何學(xué)家布拉施克 (Wilhelm Blaschke，1885-1962) 指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位后，隨即游學(xué)巴黎大學(xué)一年，得到幾何學(xué)大師嘉當(dāng) (Elie Cartan，1869-1951) 的真?zhèn)?。嘉?dāng)慧眼識(shí)珠，看上這位志向遠(yuǎn)大的東方好學(xué)青年，每隔一周在家里慷慨見他一面，毫無保留地親授關(guān)于流形分析和活動(dòng)標(biāo)架的嘉氏獨(dú)門武功，查詢這位學(xué)生的研究進(jìn)展并指出新的思路。按照陳先生晚年的回憶，學(xué)生離開后，老師還在繼續(xù)思考他們討論過的問題，第二天送來新的想法。這種指導(dǎo)，堪稱典范。學(xué)生因抗戰(zhàn)而回國后，他還不停寄上自己論文的預(yù)印本，給在中國西南聯(lián)大惡劣生活環(huán)境下堅(jiān)持學(xué)術(shù)研究的陳省身及時(shí)送上最佳數(shù)學(xué)食糧。鉆研不止的陳省身真正讀懂了嘉當(dāng)那批晦澀難懂的文章，而那個(gè)時(shí)代絕大多數(shù)的歐美數(shù)學(xué)家卻沒能讀懂，甚至忽視或怠慢了它們。這些現(xiàn)代幾何學(xué)的先進(jìn)思想和新穎方法極大地啟發(fā)了這位中國人在艱苦的條件下做出了第一流的研究工作，如成為整體微分幾何標(biāo)志性記錄的高斯-博內(nèi)公式之內(nèi)蘊(yùn)證明，以及在現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支中到處有用的“陳示性類”，使得他很快成為世界數(shù)壇中令人矚目的整體微分幾何開路先鋒。所以，當(dāng)普林斯頓高等研究院的大數(shù)學(xué)家外爾 (Hermann Weyl，1885-1955) 教授于1948年底將陳省身從內(nèi)戰(zhàn)烽火中的中國邀請(qǐng)到那里訪問后，僅僅過了半年，一心想把芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系重新打造成北美學(xué)術(shù)重鎮(zhèn)的系主任、分析與拓?fù)鋵W(xué)家斯通，闖過了校方對(duì)長期雇傭華人教授猶豫不決的難關(guān)，一把將陳省身從美國的東海岸拉到密歇根湖湖畔的芝加哥，加入到不久前也被他挖去數(shù)學(xué)系的韋伊 (Andre Weil，1906-1998)、麥克萊恩 (Saunders Mac Lane，1909-2005) 以及辛格的博士論文導(dǎo)師西格爾等英雄豪杰的隊(duì)伍當(dāng)中。

陳省身將嘉當(dāng)?shù)乃枷牒屠碚搹姆▏隹诘街袊龠M(jìn)口到美國，是嘉當(dāng)輝煌數(shù)學(xué)事業(yè)當(dāng)之無愧的直系傳人。楊振寧先生在他80年代初寫的一首五言詩中的最后一句是“歐高黎嘉陳”，將他倆與偉大的歐拉 (Leonhard Euler，1707-1783)、高斯(Friedrich Gauss，1777-1855) 和黎曼 (Bernhard Riemann，1826-1866) 并列。陳省身在美國三十年教書生涯中正式開設(shè)的第一門微分幾何課，讓辛格和他的研究生伙伴們進(jìn)入了微分幾何的“大范圍時(shí)代”。如果說楊振寧于1940年秋季在西南聯(lián)大讀大三時(shí)從陳省身的局部微分幾何課中學(xué)到了經(jīng)典知識(shí)，那么時(shí)隔九年辛格則是從同一個(gè)老師那里吸收了整體微分幾何的現(xiàn)代養(yǎng)分。在這門“及時(shí)雨”式的課程里，陳省身強(qiáng)調(diào)了嘉當(dāng)?shù)奈⒎至餍喂ぷ饕约皹?biāo)架叢的觀點(diǎn)，介紹了他自己的兩大成果：高斯-博內(nèi)-陳定理和陳類。這些營養(yǎng)成分后來催生出楊振寧和辛格各自對(duì)物理領(lǐng)域的重大貢獻(xiàn)。雖然陳省身并非辛格的博士論文指導(dǎo)老師，但在更廣的意義下辛格的確是他的一名學(xué)生。

盡管辛格在回憶中謙稱自己由于忙于博士論文寫作，而只是“被動(dòng)”地參與了同學(xué)們對(duì)陳教授課中幾何新概念的熱烈討論，但在一年后辛格去麻省理工學(xué)院當(dāng)被稱為“摩爾講師(Moore Instructor) ”的博士后時(shí)，他成了陳省身幾何新思想的積極傳播者，原因之一是系里比他年長十歲的幾何學(xué)家沃倫·安布羅斯 (Warren Ambrose，1914-1995) 教授和其他人熱切地想通曉“現(xiàn)代微分幾何”的最新發(fā)展。于是，在安布羅斯教授組織的討論班上，年輕的辛格博士給大家上了一門課，用的教材就是他在陳省身教授班上的課堂筆記。過了幾年，在這兩個(gè)“中青年”數(shù)學(xué)家的強(qiáng)力推動(dòng)下，麻省理工學(xué)院的純數(shù)學(xué)研究上了一個(gè)新臺(tái)階，尤其在幾何方面成了除了芝加哥大學(xué)之外的美國數(shù)學(xué)中心。他們也訓(xùn)練出了一批新生的幾何學(xué)家，其中的一個(gè)就是著名的以數(shù)學(xué)模型掛帥的金融投資大王詹姆斯·西蒙斯 (James Simons，1938-)。

麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系的臨時(shí)教職“摩爾講師”，可不是一般意義下的“講師”，而是相當(dāng)于“博士后”的一種位置，世界各地新出爐的數(shù)學(xué)博士很難得到，它已經(jīng)成了一種學(xué)術(shù)榮譽(yù)。辛格對(duì)本系的“摩爾講師”制贊不絕口。它起始于1948年，比辛格遲一年獲此教職的是傳奇數(shù)學(xué)天才納什 (John Nash Jr.，1928-2015) ，他后來在上世紀(jì)90年代因獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)以及接踵而至講述他故事的《美麗心靈》傳記及電影而在全世界家喻戶曉。我在密歇根州立大學(xué)念博士時(shí)教過我《高等泛函分析》一學(xué)年課程的阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授（在這個(gè)意義下我也是他的學(xué)生，就像辛格是陳省身的學(xué)生一樣），在擔(dān)任摩爾講師的兩年間獲得校級(jí)的“杰出教學(xué)獎(jiǎng)”。辛格回憶起，在慶?！澳栔v師”制實(shí)施50周年的那場慶典中，他見到許多昔日講師今日成為國際主要數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的得主和美國數(shù)學(xué)會(huì)的會(huì)長。他甚至認(rèn)為這個(gè)獨(dú)特的體制是麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系從50年代起開步走向輝煌的重要因素之一。因?yàn)樗屓澜缇哂胁煌瑪?shù)學(xué)背景和文化的最優(yōu)秀年輕博士聚在這里，承擔(dān)減少一半或三分之一的教學(xué)工作，在資深教授的指點(diǎn)下，通過舉辦眾多數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域討論班的實(shí)踐，強(qiáng)化了與教授們的互動(dòng)互學(xué)，營造出極其活躍的研究氛圍。

2016年初，我因幫助一家學(xué)術(shù)出版社審閱了一本書稿的計(jì)劃書，為了感謝我的辛苦勞作，編輯讓我挑選價(jià)值150美元的禮品書籍。在出版社的書單中，我第一眼就挑出一本。在當(dāng)年暮春初夏，我從頭到尾通讀了這本450頁、出版于2009年的英文口述歷史書，書名是 Recountings: Conversations with MIT Mathematicians（《回顧 ：與麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)家交談錄》）。該書編者的父親塞格爾 (Lee A. Segel，1932-2005) 是也當(dāng)過“學(xué)院教授”的杰出華人應(yīng)用數(shù)學(xué)家林家翹 (1916-2013) 先生于1959年在那里帶出的博士。由于這層關(guān)系，他對(duì)麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系的一打資深教授進(jìn)行了深入采訪，出版成書，辛格教授自然也在其中。辛格向采訪人重點(diǎn)描述了他在那里第一年的有趣故事。在此我轉(zhuǎn)述他剛到校園的第一天經(jīng)歷。

那天是1950年7月初的一天。當(dāng)辛格走進(jìn)數(shù)學(xué)系樓后，在系主任辦公室向秘書自我介紹時(shí)，一位坐在秘書對(duì)面讀報(bào)的家伙放低報(bào)紙，沖頭對(duì)他來了一句：“辛格，我是安布羅斯。五分鐘后有個(gè)關(guān)于李群的報(bào)告。咱們一起去?！毙粮窕卮鸬溃骸暗恰俏冶仨氁婑R?。ㄏ抵魅危┙淌??！睂?duì)方卻說：“那個(gè)能等，等會(huì)再見他！讓我們聽報(bào)告去?！眻?bào)告后安布羅斯把他帶回系主任辦公室報(bào)到，說“今晚半夜在城里的咖啡店見。11點(diǎn)30我來接你？”凌晨兩點(diǎn)安布羅斯把他送回住處。55年后的辛格回憶到他那時(shí)刻的心情：“我感到麻省理工學(xué)院是我的新家，安布羅斯和我則成了密友?！边@兩個(gè)精力無窮的好友和同事，加上像列文森及懷海德 (George Whitehead，1918-2004) 等幾個(gè)關(guān)鍵人物，在上個(gè)世紀(jì)的下半葉幫助麻省理工學(xué)院建成為世界上最強(qiáng)大的數(shù)學(xué)系之一。

辛格最有名的數(shù)學(xué)工作當(dāng)推他1963年與英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞發(fā)表的“指標(biāo)定理”，現(xiàn)在以他們的名字冠名。這個(gè)定理是20世紀(jì)的一項(xiàng)里程碑之作，因?yàn)樗囊饬x在于建立了分析、幾何和拓?fù)渲g聯(lián)系的一座重要橋梁。他們兩人因此共同的杰作而分享了2004年的阿貝爾獎(jiǎng)，這是被稱為“數(shù)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)”的該獎(jiǎng)項(xiàng)自從2003年首次頒發(fā)后直到目前為止僅有的三次“雙人獲獎(jiǎng)”之一。他們被選中和1957年李政道與楊振寧被諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)選中一樣必須是“雙贏”，因?yàn)楸华?jiǎng)的偉大工作都是雙人珠聯(lián)璧合之作。阿蒂亞的數(shù)學(xué)興趣很廣，貢獻(xiàn)良多，名氣很大，但主要是個(gè)幾何學(xué)家，而分析和微分方程是辛格的過硬本領(lǐng)。他們約60年前的強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手，得益于辛格在1961-1962那個(gè)學(xué)年度學(xué)術(shù)假，在春季學(xué)期對(duì)阿蒂亞任教的牛津大學(xué)的訪問，以及阿蒂亞對(duì)他提出的一個(gè)數(shù)學(xué)問題。在2005年的談訪中，辛格對(duì)他和阿蒂亞之間的幾句對(duì)話記憶猶新。

這一次的學(xué)術(shù)訪問，時(shí)間在1962年元月，是他到達(dá)牛津校園的第二天，地點(diǎn)是他的小辦公室。當(dāng)訪問者正在拆包準(zhǔn)備工作時(shí)，主人到了，看看他在做什么研究。阿蒂亞劈頭來了一句問話：“為什么自旋流形的A-虧格是個(gè)整數(shù)？”A-虧格在物理上有個(gè)響當(dāng)當(dāng)?shù)拿郑旱依颂澑?，這也反映出指標(biāo)定理的導(dǎo)火線是從與數(shù)學(xué)近距離的物理學(xué)那里點(diǎn)燃的。辛格好生奇怪，作為有名拓?fù)鋵W(xué)家的阿蒂亞居然問起這個(gè)答案似乎很顯然的拓?fù)鋵W(xué)問題，好像是美國的高中數(shù)學(xué)老師在問“一元二次方程的解公式是什么？”于是他回應(yīng)道：“邁克，你知道證明。但你為何問我這個(gè)問題？”對(duì)方只是說道：“有深層原因?！睂?duì)這個(gè)深層原因的共同挖掘，他們挖出了百年未見天日的天下最有名指標(biāo)定理。阿蒂亞的一句提問竟讓辛格暫時(shí)放下一篇數(shù)學(xué)長文的寫作，專心思考它。兩個(gè)月后他感覺可以回答阿蒂亞的問題了，突破口在于用分析來處理黎曼自旋流形上的推廣狄拉克算子。他們很快猜出了“指標(biāo)公式”，并在9月份證明了這個(gè)公式，于是一個(gè)里程碑式定理橫空出世。

指標(biāo)(index)是個(gè)常見的名詞。中國的學(xué)術(shù)界幾十年來對(duì)它熟悉得不能再熟悉了，因?yàn)槿珖鞔髮W(xué)為之頂禮膜拜的所謂“SCI論文”中的那三個(gè)英文字母，就是詞組Science Citation Index（科學(xué)引用指標(biāo)）的簡寫。即便在數(shù)學(xué)王國里，指標(biāo)的身影也到處可見。比如在泛函分析里有弗萊德霍爾姆 (Erik Fredholm，1866-1927) 算子的指標(biāo)；在拓?fù)鋵W(xué)里有不動(dòng)點(diǎn)指標(biāo)；在大范圍分析里有臨界點(diǎn)的莫爾斯 (Marston Morse，1892-1977) 指標(biāo)；在動(dòng)力系統(tǒng)里有康利 (Charles Conley，1933-1984) 指標(biāo)，等等，可以說是多如牛毛。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派稱“萬物皆（整）數(shù)”。各種指標(biāo)也不例外，以整數(shù)為值，重要性無比。對(duì)任意一個(gè)多面體，也有連幼兒園孩子都可以數(shù)得出來的一項(xiàng)“指標(biāo)”，即多面體的“點(diǎn)數(shù)加上面數(shù)再減去棱數(shù)”，但有趣的是這個(gè)重要的整數(shù)拓?fù)洳蛔兞繉W(xué)名叫“歐拉示性數(shù)”。阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，用一點(diǎn)點(diǎn)專業(yè)術(shù)語概而括之，就是“定義在緊流形上的線性橢圓微分算子，它的解析指標(biāo)等于拓?fù)渲笜?biāo)”。等式左右兩端分屬分析拓?fù)?，故等?hào)可以形象化地放大成連接兩個(gè)數(shù)學(xué)分支的一座鋼鐵大橋。這個(gè)指標(biāo)之所以強(qiáng)大，原因之一是許多早先發(fā)現(xiàn)的大定理都是它的“特殊情形”，包括前面提到的高斯-博內(nèi)-陳定理。物理學(xué)家們一直在尋找對(duì)自然界規(guī)律可以“包羅萬象”的統(tǒng)一理論，但是迄今未果。然而阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，從某個(gè)角度來看，卻成功地包羅了一大批數(shù)學(xué)定理。難怪第二屆阿貝爾獎(jiǎng)當(dāng)之無愧地授予他倆。

上世紀(jì)70、80年代，阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理在數(shù)學(xué)界風(fēng)靡一時(shí)，備受寵愛，數(shù)學(xué)家們掀起了一股了解它學(xué)習(xí)它的熱潮。一般而言，在數(shù)學(xué)教授中，“偏科”現(xiàn)象相當(dāng)普遍。絕大多數(shù)人只在他們自家的田野里辛勤耕作，而對(duì)籬笆外部的世界知之不多。所以分析數(shù)學(xué)的行家里手可能對(duì)拓?fù)湫g(shù)語略感陌生，幾何拓?fù)涞捻敿飧呷丝赡軐?duì)泛函分析頗為生疏。像龐加萊(Henri Poincare，1854-1912)、希爾伯特 (David Hilbert，1862-1943) 以及馮·諾伊曼 (John von Neumann，1903-1957)那樣的“全能數(shù)學(xué)家”成了鳳毛麟角。不斷吸收新知識(shí)是增強(qiáng)創(chuàng)造性思維的一個(gè)好途徑。我在跟隨李天巖 (1945-2020) 教授讀應(yīng)用數(shù)學(xué)博士學(xué)位期間，系里幾個(gè)研究做得風(fēng)生水起的幾何與拓?fù)浣淌谝约八麄兊牡茏?，特地組織了一個(gè)阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理討論班，把我這個(gè)“非幾何拓?fù)淇瓢喑錾怼钡珜?duì)純數(shù)學(xué)還感興趣的研究生也吸引了過去。我沒忘記，有一次我在討論班上正確回答了演講者的一個(gè)問題，令在場的一位和我老板一樣掛著“大學(xué)杰出教授”頭銜的拓?fù)鋵W(xué)家頗為驚訝，轉(zhuǎn)過頭來注視著我好一陣子，那個(gè)神態(tài)仿佛是在納悶“哪里來的小子，也知道這個(gè)東西？”我對(duì)阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的點(diǎn)滴認(rèn)識(shí)，是來自那兩個(gè)月討論班的額外收獲。

不僅數(shù)學(xué)家們對(duì)辛格感激涕零，理論物理學(xué)家也對(duì)他感恩戴德，因?yàn)樗蜅钫駥幍囊淮谓煌鶎?dǎo)致楊-米爾斯理論進(jìn)入了數(shù)學(xué)家的視野。規(guī)范場的概念于1918年由德國數(shù)學(xué)家外爾提出，用于電磁場的不變性，但他的理論沒有得到愛因斯坦的青睞。1954年即外爾去世的前一年，楊振寧和米爾斯 (Robert Mills，1927-1999)將他的理論修改并且處理了“非阿貝爾”的情形，所得到的非線性偏微分方程是電磁學(xué)中麥克斯韋 (James Maxwell，1831-1879) 方程組的推廣。順便一提，米爾斯比費(fèi)曼遲九年獲得美國大學(xué)生普特南數(shù)學(xué)競賽的“Putnam Fellow”稱號(hào)，即打入了個(gè)人成績前五名，所以他和楊振寧一樣都是數(shù)學(xué)家的料子。但是楊-米爾斯方程在二十年內(nèi)并沒有引起數(shù)學(xué)家們的足夠關(guān)注，即使60年代后也僅僅在一部分理論物理學(xué)家中流通。到了1975年，楊振寧先生通過他的數(shù)學(xué)家同事、和陳省身亦師亦友并共同提出陳-西蒙斯理論的西蒙斯，對(duì)纖維叢的數(shù)學(xué)概念有了充分的理解，并著迷于他的規(guī)范場公式與黎曼幾何中的一個(gè)公式在形式上的驚人相似之處。于是他和自己曾經(jīng)的“編外弟子”、哈佛大學(xué)的物理學(xué)家吳大峻 (1933-) 在那一年發(fā)表了一篇三頁短文Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields（《不可積相因子概念與規(guī)范場的整體表述》），其中他們列出一張對(duì)照清單，表格的左半邊為規(guī)范場術(shù)語，右半邊為纖維叢術(shù)語。正是這篇論文，點(diǎn)燃了辛格從已獻(xiàn)身四分之一世紀(jì)之久的純數(shù)學(xué)華麗轉(zhuǎn)身到大學(xué)時(shí)代初戀情人物理學(xué)的火焰。

那是在1976年夏天，應(yīng)昔日所教學(xué)生西蒙斯的邀請(qǐng)，辛格去了石溪大學(xué)（當(dāng)時(shí)叫紐約州立大學(xué)石溪分校）數(shù)學(xué)系訪問，其時(shí)系主任西蒙斯安排了老師與本校的愛因斯坦教授及理論物理研究所所長楊振寧會(huì)晤。楊教授向來賓介紹了他和吳大峻的上述文章。數(shù)學(xué)眼光犀利的辛格一下子就被這張“數(shù)學(xué)-物理聯(lián)絡(luò)圖”吸引住了，而該對(duì)照表中右邊恰好有一項(xiàng)“主纖維叢上的聯(lián)絡(luò)”，對(duì)應(yīng)著左邊的“規(guī)范勢”。同年秋天，辛格又去訪問老搭檔阿蒂亞，向他轉(zhuǎn)述了吳-楊的工作。他倆和阿蒂亞四年前帶出的博士希欽 (Nigel Hitchin，1946-) 三人合寫的、于1977年4月在數(shù)學(xué)家同行中開始廣泛傳播的著名文章Deformations of instantons（瞬子的變形），直接運(yùn)用阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，發(fā)現(xiàn)了楊-米爾斯方程的自對(duì)偶解。這篇文章引發(fā)了數(shù)學(xué)界對(duì)楊-米爾斯方程研究的一股浪潮，至今尚未消退。

同一篇文章也重新激發(fā)了辛格對(duì)自己老本行的摯愛。借用他十年后為一場演講寫下的回憶稿，他說，1947年轉(zhuǎn)入芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系讀研究生，“30年后，我發(fā)覺自己在牛津大學(xué)講規(guī)范場理論。這件事起始于吳大峻和楊振寧的一張對(duì)照表，結(jié)果是得到了瞬子，即楊-米爾斯方程的自對(duì)偶解。做了30年的數(shù)學(xué)，我似乎又回到物理學(xué)了?！苯碚撐锢韺W(xué)越來越離不開現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)這一強(qiáng)大的工具。自從愛因斯坦向他的數(shù)學(xué)家同學(xué)兼好友格羅斯曼(Marcel GrosSmann，1878-1936) 借了筆記，重溫了之前因曠課而沒能學(xué)好的黎曼幾何并用于他的廣義相對(duì)論，數(shù)學(xué)在理論物理的領(lǐng)域一直起著關(guān)鍵性的作用。反過來，它也被物理中的核心問題推動(dòng)發(fā)展。幾十年來，除了楊-米爾斯理論與纖維叢理論、阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理及低維拓?fù)涞认嗷ビ绊懲?，試圖統(tǒng)一自然界四種基本作用力的超弦理論與幾何學(xué)中的卡拉比-丘流形、凝聚態(tài)物理中的量子糾纏與屬于抽象代數(shù)的范疇論等，揭示出當(dāng)今數(shù)學(xué)與物理之間的進(jìn)一步融合。

辛格教授走完了他漫長而優(yōu)美的一生。他不僅給學(xué)術(shù)界留下一系列極富創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)定理，而且也為后來者留下怎樣做數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想。我既無能力也無資格在這里總結(jié)他屬于數(shù)學(xué)文化的重要遺產(chǎn)，但是我領(lǐng)會(huì)到他的數(shù)學(xué)生涯帶給我們的一個(gè)啟示是：要在科學(xué)事業(yè)上有所作為，對(duì)多學(xué)科知識(shí)的積極吸收與融會(huì)貫通絕對(duì)是一個(gè)出奇制勝的法寶。

寫于2021年2月28日星期日

美國哈蒂斯堡居所夏日山莊

致謝：作者感謝香港的陳關(guān)榮教授和瑞典的范明教授對(duì)文章的潤色修改。