穩(wěn)恒電流2
首先回顧一下穩(wěn)恒電流的理論體系。本質(zhì)上還是要求解一個Maxwell方程，只不過現(xiàn)在是在一個特殊條件下求解。特定性條件加起來是這三個：
穩(wěn)恒條件；
非靜電力K；
碰撞假設(shè)與統(tǒng)計假設(shè)。
Maxwell方程加上這三條條件，最終可以把偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程（Kirchhoff方程），使問題得以解決。
而且要注意的是，雖然平時說的電路是傳統(tǒng)上導(dǎo)線、電阻各種接起來的那種，但是這種從Maxwell方程（和Lorentz）+特定性假設(shè)的方法還可以用于研究廣義的“電路”，比如導(dǎo)線是一個克萊因瓶，根本沒有導(dǎo)線，電流密度不均勻之類的奇奇怪怪的情況。這種時候再說Ohm定律就沒有意義了，但是Maxwell方程+特定性假設(shè)仍然可以推。
這一小節(jié)仔細(xì)重新推導(dǎo)一下穩(wěn)恒電流的理論框架。
首先，根據(jù)穩(wěn)恒條件，寫出Maxwell方程
第一條當(dāng)然還是普通的Gauss定律。
第二條說明E是一個梯度場，即電勢存在（不過不能叫靜電勢了）：
3、4兩條。在直流電路中我們不太關(guān)心磁場的問題，更關(guān)心電流j，所以對于第四條取一個散度得到
這也叫電流的穩(wěn)恒條件，說的就是電流一定是環(huán)狀的，不能從一個點(diǎn)跑出去或跑進(jìn)去。
然后我們看看電荷在這個空間里面是怎么運(yùn)動的?？臻g中除了Lorentz力還存在兩種力：非靜電力K和原子實(shí)的阻礙。Lorentz力變?yōu)椋?/p>
K通常局限在一定范圍的空間內(nèi)（也就是我們所說的電源），但也可以彌散在整個空間內(nèi)（整個電路都帶著電動勢），這都無所謂。電子在這個力下加速運(yùn)動，但同時一直撞擊原子實(shí)。根據(jù)碰撞的統(tǒng)計假設(shè)，這個碰撞過程用Poisson點(diǎn)過程刻畫，于是它在scaling limit下弱收斂到一個勻速運(yùn)動：（微觀Ohm定律）
條件全部用完，接下來應(yīng)該就能推導(dǎo)出所有東西。
【1】電阻，以及兩點(diǎn)之間的電位差。首先我們知道Laplace方程（見【4】）。Ohm定律說的其實(shí)就是，
是一個只依賴于導(dǎo)體形狀、S_1、S_2以及導(dǎo)體材料的量，與U_1和U_2無關(guān)。這個證明其實(shí)只需要唯一性定理，如果把U_1-U_2翻倍，假如把\Phi也翻倍，發(fā)現(xiàn)它仍然滿足Laplace方程以及邊界條件。所以它就是唯一解，此時分子分母都翻倍，比例不變。所以這個物理量是well-defined的。也就是說我們定義
我們可以看到，電阻是一個和電容類似的物理量。定義都來源于唯一性定理。電阻并不是像初中那樣直觀trivial存在的物理量，它是不trivial的。
這樣我們就看到，歐姆定律U=IR本質(zhì)上就是Laplace方程解的唯一性。
關(guān)于電阻的計算。和電容一樣，一般得求解Laplace方程才能知道電阻。對于柱形的導(dǎo)體，Laplace方程非常好解，可以算出
這就是我們平時用的電阻公式。它對于非柱形的導(dǎo)體就不適用了。
最后要提的一點(diǎn)是，
這個定義針對的是沒有K的導(dǎo)體。如果有K，應(yīng)該定義為
這是為了排除K的影響。一旦知道電流分布，就知道了電阻。電阻就是刻畫電流分布的量，跟有沒有加上K無關(guān)。
【2】Kirchhoff方程，即代數(shù)化的Maxwell方程。Kirchhoff第一方程就是電流穩(wěn)恒條件的積分形式：
也就是說每個曲面進(jìn)出的電流總和為0。特別地，對于每個節(jié)點(diǎn)，進(jìn)出的電流總和為0。
Kirchhoff第二方程則來自于Maxwell2（即梯度場）的積分形式：
左邊給出各個IR的和（因?yàn)镽的定義），右邊給出總的電動勢。于是就變成Kirchhoff第二方程。
【3】電功率。也就是電磁場能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的功率。電子本應(yīng)該加速，但因?yàn)榕鲎埠纳⒘穗姶艌瞿?，在統(tǒng)計上變成勻速運(yùn)動，電磁場能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。
這個式子總是成立的。當(dāng)然，如果電磁場能有轉(zhuǎn)化為其它能量，則UI是總的輸出功率，未必全部變成內(nèi)能。
【4】電荷分布、電流分布與電場分布。在沒有電動勢，而且介質(zhì)均勻的地方，
也就是說這些地方?jīng)]有凈電荷，正負(fù)恰好抵消，只有電流。所以凈電荷能夠集中的地方只有電源、導(dǎo)體表面以及導(dǎo)體的不均勻處。
電流和電場是正比的，所以只需要知道電場分布。在導(dǎo)體內(nèi)部，沒有凈電荷，電勢滿足Laplace方程：
那么邊界條件是什么呢？我們知道邊界條件得用積分形式去找。在導(dǎo)體邊界畫一個Gauss面，根據(jù)
知道：
在非電流輸入?yún)^(qū)域，電流（以及電場）是邊界的切向；
在電流輸入?yún)^(qū)域，可以有法向的電流（電場），法向電流是連續(xù)的。
再根據(jù)Gauss定律得到：
1.在非電流輸入?yún)^(qū)域，電荷密度為
2.在電流輸入?yún)^(qū)域，如果連接材料相等，則沒有電荷積累。
反映到Laplace方程上是什么邊界條件？
1.在電流輸入和輸出區(qū)域，電勢固定：
2.在其它區(qū)域，電勢在法向不變：
這樣在數(shù)學(xué)上就完成了formulation，電場/電流分布就能解出來了（混合邊界條件的Laplace方程）。
特別地，對于柱形的導(dǎo)體，電勢就是一個線性的場，電流是均勻分布的。這是我們熟知的關(guān)于DC電路的結(jié)論。
還有一點(diǎn)就是，此時導(dǎo)體不是一個等勢體了。這是當(dāng)然，別想糊涂了，覺得導(dǎo)體一定是等勢體。
前面看到電阻是一個非平凡的量。我們現(xiàn)在嘗試算一個非平凡的電阻。假想一個圓柱，高為d，半徑為R。在柱坐標(biāo)下，0-\alpha部分控制電位為0，\pi-\pi+\alpha部分控制為U。求它的電阻。
列出Laplace方程，分離變量。具體過程不寫了。求出本征函數(shù)：
其中I和K分別為第一類和第二類修正Bessel函數(shù)。每一對本征值對應(yīng)四重簡并的本征函數(shù)。
注意到第二類修正Bessel函數(shù)在0是發(fā)散的，所以可以忽略掉。第一類修正Bessel函數(shù)是指數(shù)增長型的。最后代入R的邊界條件，解出系數(shù)，就可以知道Laplace方程的解。
如果想方便點(diǎn)，可以直接用Mathematica找數(shù)值解。代碼如下：
畫出電勢為：
其實(shí)挺接近平面的，也就是說大致上可以看成一個柱形的導(dǎo)體。電流就沿著這個梯度往下走。電流可以這樣畫出：（InterpolatingFunction可以按照一般函數(shù)來玩）
結(jié)果為：
這就是電流線。和我們想象的完全一樣?？梢钥闯鲆磺羞€是基于Maxwell方程。
單單是這樣一個簡單的系統(tǒng)已經(jīng)沒有初等函數(shù)表達(dá)的電阻了。對于更加復(fù)雜的形狀更不用說。如果有人問，R=\rho l/S能不能推廣到一般形狀的電阻，那基本是沒有希望的。
這一節(jié)討論一下如何不求解Laplace方程定性畫出導(dǎo)體中的電流分布。完整的刻畫就是這三點(diǎn)：
在沒有電流流入/流出的表面，電流為表面的切向。
電流滿足Gauss定律。
電流滿足環(huán)路定律。
根據(jù)Laplace方程的唯一性定理，只要這三點(diǎn)滿足，那么這個電流場就是唯一的電流場。而根據(jù)這三點(diǎn)，可以定性畫出電流分布。
前面說了，電阻的嚴(yán)格定義是（在材料均勻的時候，是純幾何量）
電阻刻畫的到底是什么？顧名思義，是“對電流的阻礙”，這個阻礙來源于原子實(shí)對電子的散射。分子刻畫的就是電能的耗散，而分母則用來scaling。（這樣就可以理解為什么這樣定義電阻）
Remark: 這個定義其實(shí)就是d/(\sigma S)的推廣。對于柱形導(dǎo)體，j都是恒等的，直接消掉就行。
如果改變邊界條件，電勢是成倍數(shù)地變化的（唯一性定理），所以j也是成倍數(shù)變化的。也就是說， 電流分布在忽略倍數(shù)的意義下是唯一的。所以我們只要畫出一個電流分布圖，就刻畫了所有情況下的電流分布。所以我們只需要畫出“單位電流分布”。
比如說畫出這三個導(dǎo)體，可以通過定義（紅線上積分）明顯看出第二個電阻小，第三個電阻大。
在仔細(xì)分析一下焦耳定律到底是怎么回事。
假設(shè)電流通過導(dǎo)體，電子除了受到原子實(shí)的散射之外，還對外做功:
這個K不一定是電動勢了，總之可以想象成一個機(jī)械力（保守的，假設(shè)勢場為U），比如說電動機(jī)。這樣場能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能和機(jī)械能。分別轉(zhuǎn)化了多少？
我們知道總的輸出能量（功率）肯定是UI，不用說。而算一下
所以結(jié)論就是：
I^2R是熱耗散
UI是總的輸出功率
對于純電阻，上面二者相等。對于非純電阻，總的輸出功率可能會大于熱耗散。
這是我們高中時熟知的結(jié)論，現(xiàn)在可以嚴(yán)格證明了。
趙凱華，陳熙謀的《電磁學(xué)》上有這樣一個式子：
這是大錯特錯的。下面我們來論證錯在哪里。假設(shè)\rho是均勻的，只考慮S不均勻。
在知乎上有這么一個問題：
接觸點(diǎn)是一個點(diǎn)的時候當(dāng)然是無窮大?？紤]接觸點(diǎn)有一個小張角，怎么算電阻？
曾經(jīng)某個蜜汁優(yōu)越的電工大v是按照微元法分成一層一層積分計算的，還拿了高贊，雖然現(xiàn)在沒了。其實(shí)也就是上面3.11那個式子。問題就在于，分層的時候，每個分界面上不是等電位的。如果你按照串聯(lián)來算，分層之前的電流分布和分層之后的電流分布完全不同（想想邊界條件）。除非你按照等勢面來做微元法，然而劃分出來的曲面根本算不了。
電流分布錯了，算出來的
當(dāng)然也就是錯的。我們再一次看到，電阻的計算不是一個平凡的問題，終究是要落回Maxwell方程的，別想著拿歐姆定律就能解決一切問題。
下面我打算仔細(xì)看看非靜電力K可以是怎么回事。
電動勢的英文叫Electromotive force，日語直接翻譯成起電力，倒是有點(diǎn)K的意思。
首先是溫差電/熱電效應(yīng)（Thermoelectric effect）。它分為三種。
Thomson效應(yīng)。假設(shè)導(dǎo)體有溫度梯度，則其上的電子在統(tǒng)計效應(yīng)下等價于說有一個力驅(qū)使其定向運(yùn)動。這個非靜電力正比于梯度：
于是會產(chǎn)生一個電動勢：
這個電動勢實(shí)現(xiàn)的是內(nèi)能和電能之間的轉(zhuǎn)化。這是一個可逆的過程，并不像焦耳熱一樣是不可逆的。這體現(xiàn)的是熱力學(xué)第二定律。
顯然，如果是只有單種金屬的溫差，是無法產(chǎn)生穩(wěn)恒電流的。
Peltier效應(yīng)。在不同金屬的接觸面上，電子數(shù)密度不同，導(dǎo)致擴(kuò)散，在統(tǒng)計上也相當(dāng)于一個非靜電力。原理和Thomson效應(yīng)類似。
顯然，如果只是把幾個金屬拼起來，無法產(chǎn)生穩(wěn)恒電流。
Seebeck效應(yīng)。這是前兩個效應(yīng)的集合。結(jié)合起來之后是有可能產(chǎn)生穩(wěn)恒電流的：
這種溫差電偶可以用來測量溫度。
列幾個可以用來坑人的問題。
如何從微觀歐姆定律定義電阻？或者說，是否能通過電阻率的某種積分寫出來？比如用微元法寫成串聯(lián)？
如何證明歐姆定律？
柱形導(dǎo)體上的電流為什么均勻分布？其它形狀的導(dǎo)體呢？
電荷守恒是否包含在Maxwell方程里面？
電路中電子的移動速度是什么量級？
為何電容是一個well-defined的物理量？
為什么介質(zhì)中電磁場能與真空中電磁場能的表達(dá)式有區(qū)別？如果是一樣的電磁場，二者的差值代表什么？
電荷的靜電場能qU集中在電荷上嗎？
Two capacitor paradox如何解決？
電荷產(chǎn)生的電磁場會對自己有作用力嗎？
電池到底是怎么工作的？
