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第 二?章 矩陣及其運(yùn)算

&1.矩陣

概念：

• m行n列矩陣：由mxn個(gè)數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表稱(chēng)為m行n列矩陣

????——為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括弧，并用大寫(xiě)黑體字母表示它，記作

????——這mxn個(gè)數(shù)稱(chēng)為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱(chēng)為元，數(shù)aij位于矩陣A的第i行第j列，稱(chēng)為矩陣A的(i,j)元，以數(shù)aij為(i,j)元的矩陣可簡(jiǎn)記作

? ? ——矩陣A也可記作

• 實(shí)矩陣：元素是是實(shí)數(shù)的矩陣。

• 復(fù)矩陣：元素為復(fù)數(shù)的矩陣。

• n階矩陣或n階方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，n階矩陣A也記作

• 行矩陣：只有一行的矩陣叫做行矩陣，又稱(chēng)行向量

• 列矩陣：只有一列的矩陣叫做行矩陣，又稱(chēng)列向量
  

• 同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等，就稱(chēng)它們是同型矩陣。

• 矩陣相等：如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣。并且它們的對(duì)應(yīng)元素相等，即

????——就稱(chēng)矩陣A與矩陣B相等，記作

• 線(xiàn)性變換：n個(gè)變量x1,x2,...,xn與m個(gè)變量y1,y2,...,ym之間的關(guān)系式

????——表示從一個(gè)變量x1,x2,...,xn到變量y1,y2,...,ym的線(xiàn)性變換，其中aij為常數(shù)，線(xiàn)性變換的系數(shù)aij構(gòu)成矩陣A=(aij)。

• n階單位矩陣：主對(duì)角線(xiàn)上的元素都是1，其他元素都是0的n階方陣，形如
  

• 對(duì)角矩陣：不在主對(duì)角線(xiàn)上的元素都是0，形如

&2.矩陣的運(yùn)算

一、矩陣的加法

定義：設(shè)有兩個(gè)m行n列矩陣A=(aij)與B=(bij)，則矩陣A和B的和記作

注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)。這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加運(yùn)算。

運(yùn)算律（A，B，C都是m行n列矩陣，O為每個(gè)元素都為0的矩陣）：

1. 交換律：A+B=B+A

2. 結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)

3. 恒元：A+0=0

4. 逆元：A+(-A)=O——

   -A記作A的負(fù)矩陣，-A=(-aij)

矩陣的減法：A-B=A+(-B)

二、數(shù)與矩陣相乘

定義：數(shù)λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ，規(guī)定為

運(yùn)算律（設(shè)A，B為m行n列矩陣，λ，μ為數(shù)）：

1. 結(jié)合律：(λμ)A=λ(μA)

2. 第一分配律：(λ+μ)A=λA+μA

3. 第二分配律：λ(A+B)=λA+λB

矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算：矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算。

三、矩陣與矩陣相乘

概念：

• 線(xiàn)性變換的乘積：設(shè)有從x1,x2,x3到y(tǒng)1,y2的線(xiàn)性變換，以及從t1,t2,t3到x1,x2,x3的線(xiàn)性變換

????——若想求出從t1,t2,t3到y(tǒng)1,y2的線(xiàn)性變換，可將后一個(gè)線(xiàn)性變換代入前一個(gè)，得

????——上述線(xiàn)形變換叫做前兩個(gè)線(xiàn)性變換的乘積，再把該線(xiàn)性變換對(duì)應(yīng)的矩陣定義為前兩個(gè)線(xiàn)性變換對(duì)應(yīng)矩陣的乘積

定義：設(shè)A=(aij)是一個(gè)m行s列矩陣，B=(bij)是一個(gè)s行n列矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)m行n列矩陣C=(cij)，其中

并把此乘積記作

推論：一個(gè)1xs行矩陣與一個(gè)sx1列矩陣的乘積是一個(gè)1階方陣，就是一個(gè)數(shù)

——乘積矩陣AB=C的(i,j)元cij就是A的第i行和B的第j列的乘積。

注意：

1. 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)是，兩個(gè)矩陣才能相乘。

2. 若有兩個(gè)矩陣A，B滿(mǎn)足AB=O，不能得出A=O或B=O的結(jié)論；

   若A≠O而A(X-Y)=O，也不能得出X=Y的結(jié)論。

• 方陣A與B是可交換的：對(duì)于兩個(gè)n階方陣A，B，若AB=BA，則稱(chēng)方陣A與B是可交換的。
  

運(yùn)算律（E為單位矩陣，λ，μ為數(shù)）：

1. （乘積）結(jié)合律：(AB)C=A(BC)

2. （數(shù)乘）結(jié)合律：λ(AB)=(λA)B=A(λB)

3. 左分配律：A(B+C)=AB+AC

4. 右分配律：(B+C)A=BA+CA

5. 恒元：EmAmxn=Amxn，AmxnEn=Amxn，簡(jiǎn)寫(xiě)做EA=AE=A

• 純量陣：?jiǎn)挝痪仃嚨摩吮斗Q(chēng)為純量陣

推論：當(dāng)A為n階方陣時(shí)，(λEn)An=An(λEn)，純量陣λE與任何同階方陣都是可交換的。

• 矩陣的冪：設(shè)A為n階方陣，定義

????——其中k為正整數(shù)，A的k次冪就是k個(gè)A連乘。

矩陣的冪的運(yùn)算律：

——其中k，l為正整數(shù)。

注意：矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)n階矩陣A與B，一般來(lái)說(shuō)

? ?

• 線(xiàn)性變換（矩陣表示）：列向量（列矩陣）X表示n個(gè)變量x1,x2,...,xn，列向量（列矩陣）Y表示m個(gè)變量y1,y2,...,ym，下述線(xiàn)性變換把X變成Y，相當(dāng)于用系數(shù)矩陣A去左乘X得到Y(jié)——

• 向量OP投影的矩陣表示（X軸）：

• 向量旋轉(zhuǎn)φ角度的矩陣表示：

四、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作

運(yùn)算律（λ為數(shù)）：

概念：

• 對(duì)稱(chēng)矩陣：簡(jiǎn)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)陣，設(shè)A為n階方陣，如果滿(mǎn)足

????——那么A稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)陣。對(duì)稱(chēng)陣的特點(diǎn)是：它的元素以對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等。

? ??

五、方陣的行列式

定義：由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱(chēng)為方陣A的行列式，記作|A|或detA。

運(yùn)算律（λ為數(shù)）：

概念：

• 伴隨矩陣：簡(jiǎn)稱(chēng)伴隨陣，行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下的矩陣

????——AA*=A*A=|A|E.

? ??

六、共軛矩陣

定義：當(dāng)A=(aij)為復(fù)矩陣時(shí)，A中各個(gè)元素的共軛復(fù)數(shù)放在對(duì)應(yīng)位置組成的矩陣稱(chēng)為共軛矩陣

運(yùn)算律（設(shè)A，B為復(fù)矩陣，λ為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：