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今天木木為大家分享的是一個(gè)有限元領(lǐng)域中有趣的小案例——四節(jié)點(diǎn)平面單元，是不是乍一看好像沒什么特別之處？接著往下看~

求解域是一個(gè)邊長為 1 的二維區(qū)域，底部固定U1,U2,UR3自由度，上部受拉，以位移控制方式加載，加載位移設(shè)置為 1 mm。如圖 1 所示，圍繞著該模型，木木基于Abaqus使用CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST單元（CPS9由自定義單元完成），共5種演繹方式，來闡釋有限元對(duì)于單元的理解，然后編寫相應(yīng)的UEL子程序，來掌握以上的單元概念。內(nèi)容較長，請(qǐng)慢慢食用~

單元類型

CPS4單元，即四節(jié)點(diǎn)平面完全積分單元，如圖2左所示。一個(gè)單元四個(gè)積分點(diǎn)稱為完全積分單元，單元應(yīng)力由積分點(diǎn)應(yīng)力值通過形函數(shù)內(nèi)插獲得，單元?jiǎng)偠扔?個(gè)積分點(diǎn)循環(huán)得到。CPS4R單元，即四節(jié)點(diǎn)平面減縮積分單元，如圖2右所示。母坐標(biāo)系中每個(gè)坐標(biāo)方向少一個(gè)積分點(diǎn)，一個(gè)單元中含1個(gè)積分點(diǎn)，單元?jiǎng)偠炔恍枰獙?duì)積分點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)，直接帶入中心的高斯坐標(biāo)點(diǎn)與相應(yīng)的權(quán)重值。

CPS8單元，稱為完全積分二次單元，如圖3左所示。相應(yīng)的形函數(shù)為8個(gè)，對(duì)單元內(nèi)個(gè)積分點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)得到單元?jiǎng)偠染仃嚒?strong>CPS9單元，即9節(jié)點(diǎn)平面完全積分單元，如圖3右所示。在8節(jié)點(diǎn)單元的基礎(chǔ)上，中心加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，形函數(shù)也在此基礎(chǔ)上增加一個(gè)：，單元?jiǎng)偠染仃囃瑯右彩菍?duì)9個(gè)積分點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)得到。

CST單元。為豐富單元類型，木木在矩形單元的基礎(chǔ)上再增加一種類型單元——CST單元，如圖4所示。將求解域劃分為兩個(gè)常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，剛度矩陣的形成時(shí)不需要對(duì)積分點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)，直接套用現(xiàn)成的公式，上幾期我們也探討過CST單元的概念。

UEL自定義單元。為了深入理解這個(gè)概念，木木基于單元二次開發(fā)技術(shù)編制了CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST單元，對(duì)應(yīng)于上圖中的單元類型，相應(yīng)的INP文件和for文件可在公眾號(hào)：易木木響叮當(dāng)，后臺(tái)回復(fù)單元分析，即可自動(dòng)獲得。

位移、應(yīng)力云圖分析

位移云圖分析

不同的單元在受相同荷載下，以 U2 云圖為例，位移值相同。由于 Abaqus 沒有內(nèi)置的CPS9（二維 9 節(jié)點(diǎn)單元），如圖5(e)，故這里使用User Element用于對(duì)比。為了豐富單元類型，將求解區(qū)域劃分為兩個(gè) CST 單元（常應(yīng)變?nèi)切螁卧鐖D5(d)所示。

應(yīng)力云圖分析

應(yīng)力分析時(shí)，不同的單元類型應(yīng)力云圖不一樣，形函數(shù)階次、積分點(diǎn)分布形式影響單元應(yīng)力值，而不影響位移值。從側(cè)面反映了位移是有限元結(jié)果的求解第一變量，較應(yīng)力值準(zhǔn)確。有趣的現(xiàn)象：從圖6(b)和圖6(c)所示，一個(gè) CPS4R 單元和兩個(gè) CST 單元的應(yīng)力值相同。

UEL位移分析

基于Fortran語言，編制CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST單元的UEL Subroutine，位移值如Abaqus 分析結(jié)果一樣，位移值相同。

以上就是為大家分享的廣闊有限元世界中一個(gè)有趣的小案例，覺得本期內(nèi)容對(duì)您有幫助的話，就點(diǎn)點(diǎn)小贊和在看吧，我們下期再見~