?????????在上一篇PID系列的博文中，我們介紹了內(nèi)?？刂频幕驹?，在本文中，我們將基于上一篇文章中內(nèi)?？刂频幕驹韺?duì)PID參數(shù)進(jìn)行整定。

????????基于內(nèi)?？刂频腜ID參數(shù)整定可以概括為以下四步：

????????步驟一：首先我們需要基于內(nèi)模控制的基本原理，求得內(nèi)?？刂破?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=G_%7BIMC%7D(s)" alt="G_%7BIMC%7D(s)">，它包含了內(nèi)在模型的逆以及濾波器。然而值得一提的是，與常規(guī)內(nèi)?？刂频脑O(shè)計(jì)不同之處在于基于IMC的PID控制器設(shè)計(jì)中可以允許的分子階數(shù)大于分母的階數(shù)。

????????步驟二：求得內(nèi)?？刂频牡刃Х答伩刂破?，其形式如下：

???????????????????????????????????????????

????????通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)控制框圖可以等效為PID控制器的閉環(huán)控制形式。

????????步驟三：通過(guò)比較內(nèi)?？刂频牡刃Х答伩刂破髋cPID控制器的標(biāo)準(zhǔn)形式，則可求得PID的控制參數(shù)。對(duì)于一階系統(tǒng)，采用PI控制形式就可，對(duì)于二階系統(tǒng)，采用PID控制形式即可。標(biāo)準(zhǔn)的PI和PID控制形式可以表示如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?????????其中，為濾波器參數(shù)為可選項(xiàng)。

? ? ? ? ?假設(shè)被控對(duì)象為一階系統(tǒng)，系統(tǒng)的內(nèi)在模型為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

??????????則設(shè)計(jì)的內(nèi)?？刂破?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=G_%7BIMC%7D(s)" alt="G_%7BIMC%7D(s)">為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 相應(yīng)地我們可以求得內(nèi)模控制的等效反饋控制器為

????????????????????????????????????????

????????? 通過(guò)與PI控制器比較，我們可以得到PI的參數(shù)如下

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? 同理對(duì)于給定的二階被控對(duì)象，假設(shè)系統(tǒng)的內(nèi)在模型為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????????通過(guò)前面類(lèi)似的分析，我們與PID控制器進(jìn)行比較，最終我們可以得到PID的參數(shù)如下

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

????????????通過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)內(nèi)模控制的設(shè)計(jì)，當(dāng)內(nèi)在模型確定時(shí)，PID的參數(shù)只與濾波器的參數(shù)相關(guān)，因此，原本三個(gè)自由度的控制參數(shù)設(shè)計(jì)，變成為一個(gè)自由度的控制參數(shù)設(shè)計(jì)，這極大的降低了PID控制參數(shù)設(shè)計(jì)的難度。

????????步驟三：通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)去平衡PID控制的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)誤差。

????????為了驗(yàn)證上述理論，我們?cè)贛atlab/Simulink環(huán)境下搭建相應(yīng)模型進(jìn)行驗(yàn)證。我們首先考慮以下一階系統(tǒng)?

?? ?????????????????????????????????????????????????????????????

????????我們選擇內(nèi)模模型為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ??

????????則PI的參數(shù)可以計(jì)算得到為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????在Matlab/Simulink環(huán)境下，我們通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)可以得到如下響應(yīng)結(jié)果，其中Y1，Y2和T3的值分別為0.01，0.1和0.5?？梢园l(fā)現(xiàn)隨著值的減小，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快，但又不會(huì)出現(xiàn)超調(diào)大的情況，總體控制效果時(shí)比較好的。

? ? ? ? ? ?

????? ?接下來(lái)我們首先考慮以下二階系統(tǒng)?

?? ?????????????????????????????????????????????????????????????

????????我們選擇內(nèi)模模型為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ??

????????則PI的參數(shù)可以計(jì)算得到為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????在Matlab/Simulink環(huán)境下，我們通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)可以得到如下響應(yīng)結(jié)果，其中Y1，Y2和T3的值分別為6，3和1?？梢园l(fā)現(xiàn)隨著值的減小，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快，但是相應(yīng)的超調(diào)量也增加了，因此我們需要綜合動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和超調(diào)量選擇。

????????綜上所述，采用內(nèi)模控制進(jìn)行PID參數(shù)的整定降低了PID參數(shù)整定的復(fù)雜度，對(duì)PID的參數(shù)設(shè)計(jì)具有重要的意義。