牛頓229、芝諾悖論的實(shí)質(zhì)：要求我們證明為何能追上

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芝諾（古希臘哲學(xué)家）（百度百科）：約前490-前425。

…哲、學(xué)、哲學(xué)：見《歐幾里得110》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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悖（bèi）論學(xué)說

…悖、論、悖論：見《歐幾里得27》…

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這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學(xué)》一書中而為后人所知。

芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關(guān)于“存在”不動(dòng)、是一的學(xué)說。

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這些悖論中最著名的兩個(gè)是：“阿喀（k?。┝穑╨iú）斯跑不過烏龜”和“飛矢（shǐ）不動(dòng)”。

…矢：見《伽利略4》…

（…《伽利略》：小說名…）

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這些方法可以用微積分（無限）的概念解釋，但還是無法用微積分解決，因?yàn)槲⒎e分原理存在的前提是存在廣延（如，有廣延的線段經(jīng)過無限分割，還是由有廣延的線段組成，而不是由無廣延的點(diǎn)組成。），而芝諾悖論中既承認(rèn)廣延，又強(qiáng)調(diào)無廣延的點(diǎn)。

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

…無、限、無限：見《牛頓202》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

…原、理、原理：見《歐幾里得41》…

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這些悖論之所以難解決，是因?yàn)樗袕?qiáng)調(diào)后來笛卡爾和伽（jiā）桑迪為代表的機(jī)械論的分歧點(diǎn)。

…機(jī)、械、機(jī)械，論，機(jī)械論：見《牛頓197》…

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兩分法

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芝諾：“一個(gè)人從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循環(huán)下去，永遠(yuǎn)不能到終點(diǎn)。

假設(shè)此人速度不變，走一段的時(shí)間每次除以2，時(shí)間為實(shí)際需要時(shí)間的1/2+1/4+1/8+……。

則時(shí)間限制在實(shí)際需要時(shí)間以內(nèi)，即此人與目的地距離可以為任意小，卻到不了。

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實(shí)際上是這個(gè)悖論本身限定了時(shí)間，當(dāng)然到達(dá)不了。

（“因?yàn)椤畷r(shí)間暫停了’。”現(xiàn)代學(xué)者說。）

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《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰（chuí），日取其半，萬世不竭?！?/p>

…棰：形聲。從木，垂聲。本義：短木棍…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關(guān)，聲旁和全字的讀音有關(guān)。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…]

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芝諾與莊子悖論的區(qū)別為：芝諾悖論?一定時(shí)間內(nèi)行走的距離不變（即速度不變），而莊子時(shí)間不變，這段時(shí)間里的工作卻越來越少（速度越來越慢）。

…時(shí)、間、時(shí)間：見《伽利略10》…

…速、度、速度：見《伽利略3》…

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可以看出芝諾限制了時(shí)間，而莊子的理論可以使時(shí)間為無窮大。

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

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三個(gè)例子

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追烏龜

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阿喀（kā）琉（liú）斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母?jìng)賽中，他速度為烏龜十倍，烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。因?yàn)樵诟?jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追到100米時(shí)，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米，于是，一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；

阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追到烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個(gè)1米。

就這樣，烏龜會(huì)制造出無窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)也追不上烏龜！

“‘烏龜’，動(dòng)得最慢的物體不會(huì)被動(dòng)得最快的物體追上。

由于追趕者首先應(yīng)該達(dá)到被追者出發(fā)之點(diǎn)，此時(shí)被追者已經(jīng)往前走了一段距離。

因此被追者總是在追趕者前面。”如柏拉圖描述，芝諾說這樣的悖論，是興之所至的小玩笑。

…物、體、物體：見《伽利略9》…

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首先，巴門尼德編出這個(gè)悖論，用來嘲笑“數(shù)學(xué)派”所代表的畢達(dá)哥拉斯的“1-0.999…>0”思想。

…畢達(dá)哥拉斯：見《歐幾里得130》…

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…

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然后，他又用這個(gè)悖論，嘲笑他的學(xué)生芝諾的“1-0.999…=0，但1-0.999….>0”思想。

最后，芝諾用這個(gè)悖論，反過來嘲笑巴門尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。

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有人解釋道：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠(yuǎn)趕不上慢跑者，因?yàn)樽汾s者必須首先跑到被追者的出發(fā)點(diǎn)，而當(dāng)他到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，慢跑者又向前了一段，又有新的出發(fā)點(diǎn)在等著它，有無限個(gè)這樣的出發(fā)點(diǎn)。

芝諾當(dāng)然知道阿喀琉斯能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點(diǎn)。

類似阿喀琉斯追上海龜之類的追趕問題，我們可以用無窮數(shù)列的求和，或者簡(jiǎn)單建立起一個(gè)方程組就能算出所需要的時(shí)間。那么既然我們都算出了追趕所花的時(shí)間，我們還有什么理由說阿喀琉斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜呢？

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然而問題出在這里：我們?cè)谶@里有一個(gè)假定，那就是假定阿基里斯最終是追上了烏龜，才求出的那個(gè)時(shí)間。

但是芝諾的悖論的實(shí)質(zhì)在于要求我們證明為何能追上。

…實(shí)：見《歐幾里得7》…
…質(zhì)：見《歐幾里得15》…

…實(shí)質(zhì)：本質(zhì)；事物、論點(diǎn)或問題的實(shí)在內(nèi)容…

（…本、質(zhì)、本質(zhì)：見《歐幾里得22》…
…事、物、事物：見《歐幾里得21》…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…）

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…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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上面說到無窮個(gè)步驟是難以完成。

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以上初等數(shù)學(xué)的解決辦法，是從結(jié)果推往過程的。

…結(jié)、果、結(jié)果：見《牛頓105》…

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

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悖論本身的邏輯并沒有錯(cuò)，它之所以與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，在于這個(gè)芝諾與我們采取了不同的時(shí)間系統(tǒng)。

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

…系、統(tǒng)、系統(tǒng)：見《歐幾里得37》…

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人們習(xí)慣于將運(yùn)動(dòng)看做時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，而芝諾的解釋則采取了離散的時(shí)間系統(tǒng)。

…運(yùn)、動(dòng)、運(yùn)動(dòng)：見《伽利略9》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

即無論將時(shí)間間隔取得再小，整個(gè)時(shí)間軸仍是由無限的時(shí)間點(diǎn)組成的。

…無、限、無限：見《牛頓202》…

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換句話說，連續(xù)時(shí)間是離散時(shí)間將時(shí)間間隔取為無窮小的極限。

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其實(shí)這歸根到底是一個(gè)時(shí)間的問題。

譬（pì）如說，阿喀琉斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s，烏龜在前面100m。實(shí)際情況是阿喀琉斯必然會(huì)在100/9秒之后追上烏龜。

…譬：形聲字。從言，辟聲?！墩f文（說文解字）》：“譬，諭（yù）也。”意思就是打比方。

“譬”在先秦典籍中是個(gè)常用字，常與“如”連言，如《左傳·襄公十四年》“譬如捕鹿”、《襄公三十一年》 “譬如田獵”、《昭（zhāo）公元年》“譬如農(nóng)夫”等等。但在出土古文字材料中，未見“譬”字。

馬王堆漢墓帛書《五行》“弗辟也，辟則知之矣（yǐ）”中的二“辟”讀作“譬”，知“譬”是在假借字上加義符分化出的一個(gè)形聲字。

此字出現(xiàn)不會(huì)早于戰(zhàn)國，《左傳》等先秦典籍中的“譬”當(dāng)是秦漢以后古籍整理者的轉(zhuǎn)寫…

（…形聲字：用形聲造字法造出來的字…

…分、化、分化：見《歐幾里得93》…）

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按照悖論的邏輯，這100/9秒可以無限細(xì)分，給我們一種好像永遠(yuǎn)也過不完的印象。

但其實(shí)根本不是如此。

這就類似于有1秒時(shí)間，我們先要過一半即1/2秒，再過一半即1/4秒，再過一半即1/8秒，這樣下去我們永遠(yuǎn)都過不完這1秒，因?yàn)闊o論時(shí)間再短也可無限細(xì)分。

但其實(shí)我們真的就永遠(yuǎn)也過不完這1秒了嗎？顯然不是。

盡管看上去我們要過1/2、1/4、1/8秒等等，好像永遠(yuǎn)無窮無盡。但其實(shí)時(shí)間的流動(dòng)是勻速的，1/2、1/4、1/8秒，時(shí)間越來越短，看上去無窮無盡，其實(shí)加起來只是個(gè)常數(shù)而已，也就是1秒。

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

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所以說，芝諾的悖論是不存在的。

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“運(yùn)動(dòng)與時(shí)刻里發(fā)生什么無關(guān)，而是與時(shí)刻間發(fā)生什么有關(guān)。

如果一個(gè)物體在相鄰時(shí)刻在相同的位置，那么我們說它是靜止的，反之它就是運(yùn)動(dòng)的。

請(qǐng)看下集《牛頓230、“飛矢不動(dòng)”悖論的解決》”

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